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THÉORIE

DE

LA CHALEUR.

DE L'IMPRIMERIE DE FIRMIN DIDOT, IMPRIMEUR DU ROI,

DE l'institut et DE LA MARINE.

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A : i

THÉORIE

ANALYTIQUE

DE LA CHALEUR,

Par m. FOURIER.

A PARIS,

CHEZ FIRMIN DIDOT, PERE ET FILS,

LIBRAIRES POUR LES MATHÉMATIQUES, L ARCHITECTURE HYDRAULIQUE ET LA MARlJN'E, RUE JACOB, N° 1^.

I 822.

DISCOURS

PRÉLIMINAIRE.

l^ES causes primordiales ne nous sont point con- nues; mais elles sont assujetties à des lois simples et constantes , que l'on peut découvrir par 1 obser- vation, et dont l'étude est l'objet de la philosopliie naturelle.

La chaleur pénètre, comme la gravité, toutes les substances de l'univers, ses rayons occupent toutes les parties de l'espace. Le but de notre ouvrage est d'exposer les lois mathématiques que suit cet élé- ment. Cette théorie formera désormais une des branches les plus importantes de la physique gé- nérale.

Les connaissances que les plus anciens peuples avaient pu acquérir dans la mécanique rationnelle ne nous sont point parvenues, et Ihistoire de cette science, si l'on excepte les premiers théorèmes sur

a

ij DISCOURS

riiarmonie, ne remonte point au-delà des décou- Yertes d'Archimède. Ce grand géomètre expliqua les principes mathématiques de l'équilibre des solides et des fluides. Il s'écoula environ dix -huit siècles avant que Galilée, premier inventeur des théories dynamiques , découvrit les lois du mouvement des corjDs graves. Newton embrassa dans cette science nouvelle tout le sjstème de l'univers. Les succes- seurs de ces philosophes ont donné à ces théories une étendue et une perfection admirables ; ils nous ont appris que les phénomènes les plus divers sont soumis à un petit nombre de lois fondamentales, qui se reproduisent dans tous les actes de la nature. On a reconnu que les mêmes principes règlent tous les mouvements des astres , leur forme, les inégalités de leurs cours, l'équilibre et les oscillations des mers, les vibrations harmoniques de l'air et des corps sonores, la transmission de la lumière, les actions capillaires,' les ondulations des liquides, enfin les effets les plus composés de toutes les forces naturelles, et l'on a confirmé cette pensée de Newton : Quod tain paiicis tam multa prœstet geometria glo- t'iatur.

Mais quelle que soit l'étendue des théories méca- niques , elles ne s'appliquent point aux effets de la

PRÉLIMINAIRE. iij

chaleur. Ils composent un ordre spécial de pliéno- mènes qui ne peuvent s'expliquer par les principes du mouvement et de l'équilibre. On possède depuis long-temps des instruments ingénieux , propres à mesurer plusieurs de ces effets; on a recueilli des observations précieuses; mais on ne connait ainsi que des résultats partiels, et non la démonstration mathématique des lois qui les comprennent tous.

J'ai déduit ces lois d'une longue étude et de la comparaison attentive des faits connus jusqu'à ce jour; je les ai tous observés de nouveau dans le cours de plusievixs annéps, avec les instruments les plus précis dont ou ait encor fait usage.

Pour fonder cette théorie, il était d'abord néces- saire de distinguer et de définir avec précision les propriétés élémentaires qui déterminent l'action de la chaleur. J ai reconnu ensuite que tous les phé- nomènes qui dépendent de cette action , se ré- solvent en un très-petit nombre de faits généraux et simples ; et par là toute question physique de ce genre est ramenée à une recherche d analyse mathé- matique. J en ai conclu que pour déterminer en nombre les mouvements les plus variés de la cha- leur, il suffit de soumettre chaque substance à trois observations fondamentales. En effet, les différents

a.

iv DISCOURS

corps ne possèdent point au même degré la faculté de contenir la chaleur, de la recevoir , ou de la trans- mettre à travers leur superficie, et de la conduire dazis l'intérieur de la masse. Ce sont trois qualités spécifiques que notre théorie distingue clairement, et qu'elle apprend à mesurer.

Il est facile de juger comhien ces recherches inté- ressent les sciences physiques et l'économie civile, et quelle peut être leur influence sur les jjrogrès des arts qui exigent l'emploi et la distribution du feu. Elles ont aussi une relation nécessaire avec le système du monde, et l'on connaît ces rapports, si Ton considère les grands phénomènes qui s'accom- plissent près de la surface du globe terrestre.

En effet , le rayon du soleil dans lequel cette pla- nète est incessamment plongée, pénètre l'air, la terre et les eaux; ses éléments se divisent, changent de directions dans tous les sens , et pénétrant dans la masse du globe, ils en élèveraient de plus en plus la température moyenne , si cette chaleur ajoutée n'était pas exactement compensée par celle qui s'échappe en rayons de tous les points de la superficie , et se répand dans les cieux.

Les divers climats, inégalement exposés à l'action de la chaleur solaire, ont acquis après un temps

PRÉLIMINAIRE. • v

immense des températures propres à leur situation. Cet effet est modifié par plusieurs causes accessoires , telles que l'élévation et la figure du sol, le voisinage et l'étendue des continents et des mers, l'état de la surface , la direction des vents.

L'intermittence des jours et des nuits, les alter- natives des saisons occasionnent , dans la terre solide, des variations périodiques qui se renou- vellent chaque jour ou chaque année; mais ces changements sont d'autant moins sensibles, que le point où on les mesure est plus distant de la surface. On ne peut remarquer aucune variation diurne à la profondeur d'environ trois mètres; et les varia- tions annuelles cessent d'être appréciables à une profondeur beaucoup moindre que 60 mètres. La température des lieux profonds est donc sensible- ment fixe, dans un lieu donné; mais elle n'est pas la même pour tous les points d'un même parallèle ; en général, elle s élève lorsqu'on s'approche de léquateur.

La chaleur que le soleil a communiquée au globe terrestre, et qui a produit la diversité des climats, est assujettie maintenant à un mouvement devenu uniforme. Elle s'avance dans lintérieur de la masse qu'elle pénètre toute entière, et eu même temps

vj DISCOURS

elle s'éloigne du plan de l'équateur, et va se perdre dans l'espace à travers les contrées polaires.

Dans les hautes régions de l'atmosphère, l'air très- rare et diaphane ne retient qu'une faible partie de la chaleur des rayons solaires ; c'est la cause princi- pale du froid excessif des lieux élevés. Les couches inférieures, plus denses et plus échauffées par la terre et les eaux, se dilatent, et s élèvent; elles se refroidissent par l'effet même de la dilatation. Les grands mouvements de l'air, comme les vents alizés qui soufflent entre les tropiques , ne sont point déterminés par les forces attractives de la hine et du soleil. L'action de ces astres ne produit sur un fluide^ aussi rare, à une aussi grande distance, que des oscillations très-peu sensibles. Ce sont les chan- gements des températures qui déplacent périodique- ment toutes les parties de 1 atmosphère.

Les eaux de lOcéan sont différemment exposées par leur surface aux rayons du soleil ; et le fond du bassin qui les renferme est échauffé très -inégale- ment, depuis les pôles jusqu'à l'équateur. Ces deux causes, toujours présentes, et combinées avec la gravité et la force centrifuge, entretiennent des mouvements immenses dans l'intérieur des mers. Elles en déplacent et en mêlent toutes les parties, et

PRELIMINAIRE. vij

produisent ces courants réguliers et généraux que les navigateurs ont observés.

La chaleur rayonnante qui s'écliappe de la super- ficie de tous les corps , et traverse les milieux élas- tiques, ouïes espaces vides d'air, a des lois spéciales, et elle concourt aux phénomènes les plus variés. On connaissait déjà l'explication physique de plusieurs de ces faits; la théorie mathématique que j'ai for- mée en donne la mesure exacte. Elle consiste en quelque sorte dans une seconde catoptrique qui a ses théorèmes propres , et sert à déterminer par le calcul tous les effets de la chaleur directe ou ré- fléchie.

Cette énumération des objets principaux de la théorie, fait assez connaître la nature des questions que je me suis proposées. Quelles sont ces qualités élémentaires que dans chaque substance il est nécessaire d'observer, et quelles expériences sont les plus propres à les déterminer exactement? Si des lois constantes règlent la distribution de la chaleur dans la miatière solide , quelle est lexpression mathé- matique de ces lois ? et par quelle analyse peut-on déduire de cette expression la solution complète des questions principales?

Pourquoi les températures terrest res cessent-elles

viij DISCOURS

d'être variables à une profondeur si petite par rap- port au rayon du globe ? Chaque inégalité du mou- vement de cette planète devant occasionner au-des- sous de la surface une oscillation de la chaleur solaire , quelle relation y a-t-il entre la durée de la période et la profondeur où les températures de- viennent constantes ?

Quel temps a dû s'écouler pour que les climats pussent acquérir les températures diverses c[u'ils conservent aujourd'hui; et quelles causes peuvent faire varier maintenant leur chaleur moyenne ? Pourquoi les seuls changements annuels de la dis- tance du soleil à la terre, ne causent-ils pas à la sur- face de cette planète des changements très-considé- rables dans les températures ?

A quel caractère pourrait- on reconnaître que le globe terrestre n'a pas entièrement perdu sa chaleur d origine ; et quelles sont les lois exactes de la déper- dition ?

Si cette chaleur fondamentale n'est point totale- ment dissipée, comme l'indiquent plusieurs obser- vations , elle peut être immense à de grandes pro- fondeurs, et toutefois elle na plus aujourd'hui au- cune influence sensible sur la température moyenne des climats. Les effets que Ion y observe sont dus à

PRÉLIMINAIRE. ix

l'action des rayons solaires. Mais indépendamment de ces deux sources de chaleur, l'une fondamentale et primitive , propre au globe terrestre , l'autre due à la présence du soleil, n'y a-t-il point une cause plus universelle, qui détermine la température du ciel, dans la partie de l'espace qu'occupe maintenant le système solaire ? Puisque les faits observés rendent cette cause nécessaire , cpielles sont dans cette question entièrement nouvelle les conséquences dune théorie exacte? comment pourra-t-on déter- nbiner cette valeur constante de la température de l'espace, et en déduire celle qui convient à chaque planète ?

Il faut ajouter à ces questions celles qui dépendent des propriétés de la chaleur rayonnante. On connaît t^îs-distinctement la cause physique de la réflexion du froid, c est-à-dire de la réflexion d'une moindre chaleur ; mais quelle est l'expression mathématique de cet effet?

De quels principes généraux dépendent les tem- pératures atmosphéricpies , soit que le thermomètre qui les mesure reçoive immédiatement les rayons du soleil, sur une surface métallique ou dépolie, soit que cet instrument demeure exposé, durant la nuit, sous un ciel exempt de nuages, au contact de

b

X DISCOURS

l'air, au rayonnement des corps terrestres, et à celui des parties de l'atmosphère les plus éloignées et les plus froides.

L'intensité des rayons qui s'échappent d'un point de la superficie des corps échauffés variant avec leur inclinaison suivant une loi que les expériences ont indiquée, n'y a-t-il pas un rapport mathématique nécessaire entre cette loi et le fait général de l'équi- libre de la chaleur ; et quelle est la cause physique de cette inégale intensité?

Enfin , lorsque la chaleur pénètre les masses fluides, et y détermine des mouvements intérieurs, par les changements continuels de température et de densité de chaque molécule, peut-on encore ex- primer, par des équations différentielles, les lois d'un effet aussi composé; et quel changement ^ résulte-t-il dans les équations générales de l'hydro- dynamique?

Telles sont les questions principales que jai ré- solues, et qui n'avaient point encore été soumises au calcul. Si l'on considère de plus les rapports multipliés de cette théorie mathématique avec les- usages civils et les arts techniques , on reconnaîtra toute l'étendue de ses applications. Il est manifeste quelle comprend une série entière de phénomènes

PRÉLIMINAIRE. xj

distincts, et qu'on ne pourrait eu omettre l'étude, sans retrancher une partie notable de la science de la nature.

Les principes de cette théorie sont déduits, comme ceux de la mécanique rationnelle, d'un très -petit nombre de faits primordiaux, dont les géomètres ne considèrent point la cause, mais qu'ils admettent comme résultant des observations communes et confirmés par toutes les expériences.

Les équations différentielles de la propagation de la chaleur expriment les conditions les plus géné- rales , et ranièueiit les questions physiques à des pro- blèmes d'analyse pure, ce qui est proprement l'objet de la théorie. Elles ne sont pas moins rigoureuse- ment démontrées que les équations générales de r^uilibre et du mouvement. C est pour rendre cette comparaison plus sensible, que nous avons toujours préféré des démonstrations analogues à celles des théorèmes qui servent de fondement à la statique et à la dynamique. Ces équations subsistent encore, mais elles reçoivent une forme différente, si elles expriment la distribution de la chaleur lumineuse dans les corps diaphanes, ouïes mouvements que les changements de température et de densité occa- sionnent dans l'intérieur des fluides. Les coefficients

h.

xij DISCOURS

qu'elles renferment sont sujets à des variations dont la mesure exacte n'est pas encore connue; mais dans toutes les questions naturelles qu'il nous importe le plus de considérer, les limites des températures sont assez peu différentes, pour que l'on puisse omettre ces variations des coefficients.

Les équations du mouvement de la chaleur, comme celles qui expriment les vibrations des corps sonores , ou les dernières osciltations des liquides , appartiennent à une des branches de la science du calcul les plus récemment découvertes, et qu'il im- portait beaucoup de perfectionner. Après avoir établi ces équations différentielles , il fallait en obtenir les intégrales; ce qui consiste à passer d'une expression commune, à une solution propre assujettie à toutes les conditions données. Cette recherche difficile «xi- geait une analyse spéciale , fondée sur des théorèmes nouveaux dont nous ne pourrions ici faire con- naître l'objet. La méthode qui en dérive ne laisse rien de vague et d'indéterminé dans les solutions ; elle les conduit jusqu'aux dernières applications numériques, condition nécessaire de toute recher- che, et sans laquelle on n'arriverait qu'à des trans- formations inutiles.

Ces mêmes théorèmes qui nous ont fait connaître

PRÉLIMINAIRE. xiij

les intégrales des équations du mouvement de la chaleur, s'appliquent immédiatement à des questions d'analyse générale et de dynamique, dont on désirait depuis long-temps la solution.

L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Non- seulement cette étude, en offrant aux recherches un but déterminé, a favantage d exclure les ques- tions vagues et les calculs sans issue ; elle est encore un moyen assuré de former l'analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous importe le plus de connaître, et que celte science doit toujours conserver : ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels.

On voit, par exemple, qu'une même expression, dont les géomètres avaient considéré les propriétés abstraites, et qui sous ce rapport appartient à lana- lyse générale, représente aussi le mouvement de la lumière dans l'atmosphère , qu elle détermine les lois de la diffusion de la chaleur dans la matière solide, et qu'elle entre dans toutes les questions principales de la théorie des probabilités.

Les équations analytiques, ignorées des anciens géomètres, que Descartes a introduites le premier dans létude des courbes et des surfaces, ne sont pas

xiv DISCOURS

restreintes aux propriétés des figures, et à celles qui sont l'objet de la mécanique rationnelle; elles s'éten- dent à tous les phénomènes généraux. Il ne peut y avoir de langage plus universel et plus simple, plus exempt d'erreurs et d'obscurités, c'est-à-dire plus digne d'exprimer les rapports invariables des êtres naturels.

Considérée sovis ce point de vue, l'analyse mathé- matique est aussi étendue que la nature elle-même; elle définit tous les rapports sensibles , mesure les temps , les espaces , les forces , les températures ; cette science difficile se forme avec lenteur, mais elle conserve tous les principes qu'elle a une fois acquis; elle s'accroit et s'affermit sans cesse au milieu de tant de variations et d'erreurs de l'esprit humain.

Son attribut principal est la clarté'; elle n'a point d^ signes pour exprimer les notions confuses. Elle rapproche les phénomènes les plus divers , et découvre les analogies secrètes qui les unissent. Si la matière nous échappe comme celle de l'air et de la lumière par son extrême ténuité, si les corps sont placés loin de nous, dans l'immensité de iespace, si Ihomme veut connaître le spectacle des cieux pour des époques successives que sépare un grand nombre de siècles, si les actions de la gra-

PRÉLIMINAIRE. x^

vite et de la clialeur s'exercent dans rintérleur du globe solide à des profondeurs qui seront toujours inaccessibles, l'analyse matbématique peut encore saisir les lois de ces phénomènes. Elle nous les rend présents et mesurables, et semble être une faculté de la raison humaine destinée à suppléer à la briè- veté de la vie et à l'imperfection des sens ; et ce qui est plus remarquable encore, elle suit la même marche dans létude de tous les phénomènes; elle les interprète par le même langage, comme pour attester l'unité et la simplicité du plan de l'univers, et rendre encore plus manifeste cet ordre immuable qui préside à toutes les causes naturelles.

Les questions de la théorie de la chaleur offrent autant d'exemples de ces dispositions simples et constantes qui naissent des lois générales de la nature; et si l'ordre qui s établit dans ces phéno- mènes pouvait être saisi par nos sens, ils nous cau- seraient une impression comparable à celles des résonances harmoniques.

Les formes des corps sont variées à l'infini; la dis- tribution de la chaleur qui les pénètre peut être arbitraire et confuse ; mais toutes les inégalités s'ef- facent rapidement et disparaissent à inesure que le temps s'écoule. La marche du phénomène devenue

xvj DISCOURS

plus régulière et plus simple, demeure enfin assu- jettie à une loi déterminée qui est la même pour tous les cas, et qui ne porte plus aucune empreinte sensible de la disposition initiale.

Toutes les observations confirment ces consé- quences. L'analyse dont elles dérivent sépare et ex- prime clairement, i° les conditions générales, c'est- à-dire celles qui résultent des propriétés naturelles de la chaleur; 2° l'effet accidentel, mais subsistant, de la figure ou de l'état des surfaces ; 3° l'effet non durable de la distribution primitive.

Nous avons démontré dans cet ouvrage tous les principes de la théorie de la chaleur, et résolu toutes les questions fondamentales. On aurait pu les ex- poser sous une forme plus concise, omettre les ques- tions simples , et présenter d'abord les conséquences les plus générales ; mais on a voulu montrer lorigine même de la théorie et ses progrès successifs. Lorsque cette connaissance est acquise , et que les principes sont entièrement fixés , il est préférable d'employer immédiatement les méthodes analytiques les plus étendues, comme nous l'avons fait dans les recherches ultérieures. C'est aussi la marche que nous suivrons désormais dans les mémoires qui seront joints à cet ouvi^age, et qui en forment en quelque sorte le com»

PRELIMINAIRE. xvij

le complément, et par là nous aurons concilié, au- tant qu'il peut dépendre de nous, le développement nécessaire des principes avec la précision qui con- vient aux applications de l'analyse.

Ces mémoires auront pour objet la théorie de la chaleur rayonnante, la question des températures terrestres, celle de la température des habitations, la comparaison des résultats théoriques avec ceux que nous avons observés dans diverses expériences, enfin la démonstration des équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les fluides.

L'ouvrage que nous publions aujourdhui a été écrit depuis long-temps; diverses circonstances en ont retardé et souvent interrompu limpression. Dans cet intervalle, la science s'est enrichie d'obser- vations importantes ; les principes de notre analyse, que l'on n'avait pas saisis d'abord , ont été mieux connus; on a discuté et confirmé les résultats que nous en avions déduits. Nous avons appliqué nous- mêmes ces principes à des questions nouvelles, et changé la forme de quelques démonstrations. Les retards de la publication auront contribué à rendre l'ouvrage plus clair et plus complet.

Nos premières recherches analytiques sur la com- munication de la chaleur, ont eu pour objet la dis-

xviij DISCOURSt-

tribution entre des masses disjointes; on les a con- servées dans la section II du chapitre m. Les ques- tions relatives aux corps continus, qui forment la théorie proprement dite , ont été résolues plusieurs années après ; cette théorie a été exposée pour la première fois dans un ouvrage manuscrit remis à l'Institut de France à la fin de Tannée 1807, et dont il a été publié un extrait dans le bulletin des Sciences ( Société philomatique , année 1808, page 112). Nous avons joint à ce mémoire, et remis successivement des notes assez étendues, concer- nant la convergence des séries, la diffusion de la chaleur dans un prisme infini , son émission dans les espaces vides d'air , les constructions propres à rendre sensibles les théorèmes princi- paux , et l'analyse du mouvement périodique <à la surface du globe terrestre. Notre second mémoire , sur la propagation de la chaleur, a été déposé aux archives de llnstitut, le 28 septembre 181 1. Il est formé du précédent et des notes déjà remises; on y a omis des constructions géométriques, et des dé- tails d'analyse qui n'avaient pas un rapport néce»- saire avec la question physique, et Ion a ajouté l'équation générale qui exprime l'état de la surface. Ce second ouvrage a été livré à fimpressi'on dans le

PRELIMINAIRE. xix

cours de 1821, pour être inséré dans la collection de l'Académie des Sciences. Il est imprimé sans aucun chanirement ni addition ; le texte est littéra- lement conforme au manuscrit déposé, qui fait partie des archives de l'Institut.

On pourra trouver dans ce mémoire, et dans les écrits qui l'ont précédé un premier exposé des applications que ne contient pas notre ouvrage actuel; elles seront traitées dans les mémoires sub- séquens, avec plus d'étendue, et, s'il nous est pos- sible, avec plus de clarté. Les résultats de notice travail concernant ces mêmes questions, sont aussi indiqués dans divers articles déjà rendus publics. L'extrait inséré dans les Annales de chimie et de physique fait connaitre l'ensemble de nos recher- ches, (tom. III, pag. 35o, ann. 1816). Nous avons publié dans ces annales deux notes séparées , con- cernant la chaleur rayonnante, (tom. IV, pag. 128, ann. 1817 et tom. VI , pag. 25g, ann. 181 7).

Divers autres articles du même recueil présentent les résultats les plus constants de la théorie et des observations; 1 utilité et l'étendue des connaissances thermologiques ne pouvaient être mieux appréciées que par les célèbres rédacteurs de ces annales.

On trouvera dans le bulletin des Sciences, (Soc.

XX DISCOURS,

philomat. , aun. i8i8,pag. i et anu. 1820, pag. 60) 1 extrait d'un mémoire sur la température constante ou variable des habitations, et l'exjiosé des princi- pales conséquences de notre analyse des tempéra- tures terrestres.

M. Alexandre de Humboldt , dont les recherches embrassent toutes les grandes questions de la phi- losophie naturelle, a considéré sous un point de vue nouveau et très - important , les observations des températures propres aux divers climats. ( Mé- moire sur les lignes isothermes. Société d'Arcueil, tom. III, pag. 462); (Mémoire sur la limite infé- rieure des neiges perpétuelles. Annales de Chimie et de Physique^ tom. V, pag. 102, ann. 1817).

Quand aux équations différentielles du mouve- ment de la chaleur dans les liquides , il en a été fait mention dans l'histoire annuelle de l'Académie des Sciences. Cet extrait de notre mémoire en montre clairement l'objet et le principe. {^Analjse des tra- vaux de l Académie des Sciences , par M. De Lambre , année 1820),

L'examen des forces répulsives que la chaleur produit, et qui déterminent les propriétés statiques des gaz, n'appartient pas au sujet analytique que nous avons considéré. Cette question liée à la théo_

PRÉLIMINAIRE xxj

rie de la chaleur rayonnante vient d'être traitée par 1 illustre auteur de la Mécanique céleste à qui toutes les branches principales de l'analyse mathématique doivent des découvertes importantes. (Connaissance des temps, pour les années 1824 et 182 5).

Les théories nouvelles, expliquées dans notre ouvrage sont réunies pour toujours aux sciences mathématiques, et reposent comme elles sur des fondements invariables; elles conserveront tous les éléments qu'elles possèdent aujourd'hui, et elles ac- querront continuellement plus d'étendue. On per- fectionnera les instruments et l'on multipliera les expériences. L'analyse que nous avons formée sera déduite de méthodes plus générales , c est-à-dire plus simples et plus fécondes , communes à plusieurs classes de phénomènes. On déterminera pour les sub- stances solides ou liquides, pour les vapeurs et pour les gaz permanents, toutes les qualités spécifiques re- latives à la chaleur, et les variations des coefficients qui les expriment. On observera, dans les divers lieux du globe , les températures du sol à diverses profon- deurs, l'intensité de la chaleur solaire, et ses effets, ou constants ou variables, dans latmosphère, dans l'Océan et les lacs; et Ton connaîtra cette tempéra- ture constante du Ciel, qui est propre aux régions

xxij DISCOURS PRELIMINAIRE,

planétaires. La théorie elle-même dirigera toutes ces mesures, et en assignera la précision. Elle ne peut faire désormais aucun progrès considérable qui ne soit fondé sur ces expériences ; car l'analyse mathé- matique peut déduire des phénomènes généraux et simples l'expression des lois de la nature; mais l'ap- plication spéciale de ces lois à des effets très- composés exige une longue suite d'observations exactes.

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THÉORIE

DE

LA CHALEUR.

CHAPITRE PREMIER. INTRODUCTION.

SECTION PREMIÈRE.

Exposition de l'objet de cet envisage. ."... .

6r ART. I .

LiES effets de la chaleur sont assujétis à des lois constantes que l'on ne peut découvrir sans le secoui's de l'analyse ma- thématique. La Théorie que nous allons exposer a pour objet de démontrer ces lois; elle réduit toutes les recherches physiques, sur la propagation de la chaleur, à des questions de calcul intégral dont les élémens sont donnés par l'expé- rience. Aucun sujet n'a des rapports plus étendus avec les progrès de l'industrie et ceux des sciences naturelles ; car l'action de la chaleur est toujours présente, elle pénètre

I

a THÉORIE DE LA CHALEUR.

tous les corps et les espaces, elle influe sur les proce'de's des arts , et concourt à tous les phénomènes de l'univers.

Lorsque la chaleur est inégalement distribuée entre les difféï-ents points d'une masse solide, elle tend à se mettre en équilibre , et passe lentement des parties plus échauffées dans celles qui le sont moins; en même temps elle se dissipe par la surfoce , et se perd dans le milieu ou dans le vide. Cette tendance à une distribution uniforme, et cette émis- sion spontanée qui s'opère à la surface des corps, changent continuellement la température des différents points. La question de la propagation de la chaleur consiste à déter- miner quelle est la température de chaque point d'un corps à un instant donné, en supposant que les températures ini- tiales sont connues. Les exemples suivants feront connaître plus clairement la nature de ces questions.

1.

Si l'on expose à l'action durable et uniforme d'un foyer de chaleur vuie même partie d'un anneau métallique , d'un grand diamètre, les molécules les plus voisines du foyer s'échaufferont les premières, et, après un certain temps, chaque point du solide aura acquis presque entièrement la plus haute température à laquelle il puisse parvenir. Cette limite ou maximum de température n'est pas la même pour les différents points; elle est d'autant moindre qu'ils sont plus éloignés de celui oii le foyer est immédiatement ap- pliqué.

Lorsque les températures sont devenues permanentes , le foyer transmet , à chaque instant , tme quantité de chaleur qui compense exactement celle qui se dissipe par tous les points de la surface extérieure de l'anneau.

CHAPITRE 1. 3

Si maintenant on supprime le foyer, la chaleur conti- nuera de se propager dans l'intérieur du solide, mais celle qui se perd dans le milieu ou dans le vide ne sera plus com- pensée comme auparavant par le produit du foyer, en sorte que toutes les températures varieront et diminueront sans cesse, jusqu'à ce qu'elles soient devenues égales à celles du milieu enAdronnant.

3. .: ,...., , .: •

Pendant que les températures sont permanentes et que le fover subsiste, si Ion élève, eu chaque point de la circonfé- rence moyenne de l'anneau , une ordonnée perpendiculaire au plan de l'anneau, et dont la longueur soit proportion- nelle à la température fixe de ce point, la ligne courbe qui passerait par les extrémités de ces ordonnées représentera l'état permanent des températures, et il est très-facile de déterminer par le calcul la nature de cette ligne. Il faut re- marquer que l'on suppose à l'anneau une épaisseur assez petite pour que tous les points d'une même section perpen- diculaire à la circonférence moyenne aient des températures sensiblement égales. Lorsqu'on aura enlevé le foyer, la ligne qui termine les ordonnées proportionnelles aux tempéra- tures des différents points , changera continuellement de forme. La question consiste à exprimer, par une équation, la forme variable de cette courbe, et à comprendre ainsi dans une seule formule tous les états successifs du solide.

Soit z la température fixe d'un point m de la circonférence moyenne^ :r la distance de ce point au foyer, c'est-à-dire la longueur de l'arc de la circonférence moyenne compris entre le point m et le point o , qui cori'espond à la position du

I.

4 THEORIE DE LA CHALEUR.

foyer; z est la plus haute température que le point m puisse acque'rir en vertu de l'action constante du foyer, et cette température permanente ;: est une fonction /(j:;) de la dis- tance X. La première partie de la question consiste à de'ter- miner la fonction /(.r) qui représente l'état permanent du solide.

On considérera ensuite l'état variable qui succède au pré- cédent, aussitôt que l'on a éloigné le foyer; on désignera par t le temps écoulé depuis cette suppression du foyer, et par V la valeur de la température du point m après le temps t. La quantité v sera une certaine fonction F [x,() de la dis- tance X et du temps t ; l'objet de la c[uestion est de décou- vrir cette fonction F {x,i) dont on ne connaît encore que la valeur initiale qui est/"^, en sorte c^ue l'on doit avoir l'équa- tion de conditionyo^^F {x,6).

5.

Si l'on place une masse solide homogène, de formé sphé- rique ou cubique, dans un milieu entretenu à une tempé- rature constante , et qu'elle y demeure très -long -temps plongée , elle acquerra dans tous ses points une tempéra- ture très-peu différente de celle du fluide. Supposons qu'on l'en retire pour la transporter dans un milieu plus froid , la chaleur commencera à se dissiper par la surface ; les tempé- ratures des différents points de la masse ne seront plus sen- siblement les mêmes, et si on la suppose divisée en une infinité de couches par des surfaces parallèles à la surface extérieure, chacune de ces couches transmettra, dans un instant, une certaine quantité de chaleur à celle qui l'enve- loppe. Si l'on conçoit que chaque molécule porte un ther- momètre séparé, qui indique à chaque instant sa tempéra-

CHAPITRE J. 5

ture, rëtat du solide sera continuellement représente par le système variable de toutes ces hauteurs tliermométriques. Il s'agit d'exprimer les états successifs par des formules ana- lytiques, en sorte que l'on puisse connaître, pour un in- stant donné, la température indiquée par chaque thermo- mètre, et comparer les c[uantités de chaleur qui s'écoulent, dans le même instant, entre deux couches contiguës, ou dans le milieu environnant.

6. Si la masse est sphérique, et que l'on désigne par a- la distance d'un point m de cette masse au centre de la sphère , par t le temps écoulé depuis le commencement du refroidis- sement, et par v la température variable du point 771, il est facile de voir que tous les points placés à la même distance x du centre ont la même température v. Cette quantité v est une certaine fonction F {x,t) du rayon ce et du temps écoulé t; elle doit être telle, qu'elle devienne constante, quelle que soit la valeur de oc, lorsqu'on suppose celle de t nulle; car, d'après l'hypothèse , la température de tous les points est la même au moment de l'émersion. La question consiste à dé- terminer la fonction de x et de t qui exprime la valeur de v.

On considérera ensuite cjue, pendant la durée du refroi- dissement , il s'écoule à chaque instant , par la surface exté- rieure, une certaine quantité de chaleur qui passe dans le milieu. La valeur de cette cpantité n'est pas constante; elle est plus grande au commencement du refroidissement. Si l'on se représente aussi l'état variable de la surface sphé- rique intérieure dont le rayon est x, on reconnaît facile- ment qu'il doit y avoir, à chaque instant, une certaine

6 THEORIE DE LA CHALEUR.

quantité de chaleur qui traverse cette surface et passe dans la partie de la masse qui est plus éloigne'e du centre. Ce flux continuel de chaleur est variable comme celui de la surface extérieure , et l'un et l'autre sont des quantités comparables entre elles; leurs rapports sont des nombres dont les valeurs variables sont des fonctions de la distance x et du temps écoulé t. Il s'agit de déterminer ces fonctions.

8. Si la masse échauffée par une longue immersion dans un milieu, et dont on veut calculer le refroidissement, est de forme cubique, et si l'on détermine la position de chaque point m par trois coordonnées rectangulaires x , y , z, en prenant pour origine le centre du cube, et pour axes les lignes perpendiculaires aux faces , on voit que la tempéra- ture v du point m, après le temps écoulé t, est une fonction des quatre variables x , j, z cl t. Les quantités de chaleur qui s'écoulent à chaque instant, par toute la surface exté- rieure du solide , sont variables et comparables entre elles ; leurs rapports sont des fonctions analytiques qui dépendent du temps t, et dont il faut assigner l'expression.

9- Examinons aussi le cas où un prisme rectangulaire d'une

assez grande épaisseur et d'une longueur infinie, étant assu- jéti, par son extrémité, à une température constante, pen- dant cjue l'air environnant conserve une température moin- dre, est enfin parvenu à un état fixe qu'il s'agit de connaître. Tous les points de la section extrême qui sert de base au prisme ont, par hypothèse, une température commune et permanente. Il n'en est pas de même d'une section éloignée du foyer; chacun des points de cette surface rectangulaire.

CHAPITRE I. rj

parallèle à la base, a acquis une température fixe, mais qui n'est pas la même pour les clilïérents points d'une même section, et qui doit être moindre pour les points les plus voisins de la surface exposée à l'air. On voit aussi qu'il s'écoule à chaque instant , à travers une section donnée , une certaine quantité de chaleur qui demeure toujours la même, puisque létat du solide est devenu constant. La question consiste à déterminer la température permanente d'un point donné du solide, et la cjuantité totale de chaleur qui , pendant un temps déterminé , s'écoule à travers une section dont la position est donnée. .:

lO.

Prenons pour origine des coordonnées x , y^ z, le centre de la base du prisme , et pour axes rectangulaires , l'axe même du prisme et les deux perpendiculaires sur les faces latérales : la température permanente v du point m , dont les coordonnées sont x , y, z, est une fonction de trois va- riables F {x,y, z); elle reçoit, par hypothèse, une valeur constante, lorsque Ton suppose x nulle, cpielles cpie soient les valeurs de y et de ;:. Supposons que l'on prenne pour unité la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, sortirait d'une superficie égale à l'unité de surface, si la masse échauffée, que cette superficie termine, et qui est formée de la même substance que le prisme, était continuel- lement entretenue à la température de l'eau bouillante, et plongée dans fair atmosphérique entretenu à la température de la glace fondante. On voit c[ue la cjuantité de chaleur cjui, dans fétat permanent du prisme rectangulaire, s'écoule, pendant l'unité de temps, à travers une certaine section perpendiculaire à l'axe, a un rapport déterminé avec la

8 THEORIE DE LA CHALEUR.

quantité de chaleur prise pour unité. Ce rapport n'est pas le même pour toutes les sections ; il est une fonction 9 (x) de la distance x, à laquelle une section est placée; il s'agit de trouver l'expression analytique de la fonction <p {x).

1 1.

Les exemples précédents suffisent pour donner une idée exacte des diverses questions que nous avons traitées.

La solution de ces questions nous a fait connaître que les effets de la propagation de la chaleur dépendent, pour chaque substance solide, de trois qualités élémentaires, qui sont la capacité de chaleur, la conducibilité propre, et la conducibilité extérieure. On a observé que si deux corps de même volume et de nature différente ont des tempéra- tures égales, et qu'on leur ajoute une même cjuantité de chaleur , les accroissements de température ne sont pas les mêmes ; le rapport de ces accroissements est celui des capa- cités de chaleur. Ainsi le premier des trois éléments spéci- fiques qui règlent l'action de la chaleur est exactement défini, et les physiciens connaissent depuis long-temps plusieurs moyens d'en déterminer la valeur. Il n'en est pas de même des deux autres ; on en a souvent observé les effets , mais il n'y a qu'une théorie exacte qui puisse les bien distinguer, les définir et les mesurer avec précision. La conducibilité propre ou intérieure d'un corps exprime la facilité avec laquelle la chaleur s'y propage en passant d'une molécule intérieure à une autre. La conducibilité extérieure ou relative d'un corps solide dépend de la facilité avec laquelle la cha- leur en pénètre la surface, et passe de ce corps dans un milieu donné , ou passe du milieu dans le solide. Cette der- nière propriété est modifiée par l'état plus ou moins poli de

CHAPITRE I. 9

la surperficie; elle varie aussi selon le milieu ùans lequel le corps est ])longe ; mais la conducibilitë propre ne peut changer qu'avec la nature du solide.

Ces trois qualités élémentaires sont représentées dans nos formules par des nombr.es constants, et la théorie indique elle-même les expériences propres à en mesurer la valeur. Dès qu'ils sont déterminés, toutes les questions relatives à la propagation de la chaleur ne dépendent que de l'analyse numérique. La connaissance de ces propriétés spécifiques peut être immédiatement utile dans plusieurs applications des sciences physiques; elle est d'ailleurs un élément de l'étude et de la description des divei'ses substances. C'est connaître très-imparfaitement les corps, que d'ignorer les rapports qu'ils ont avec un des principaux agents de la nature. En général, il n'y a aucune théorie mathématique qui ait plus de rapport que celle-ci avec féconomie pu- blique , puisqu'elle peut servir à éclairer et à perfectionner l'usage des arts nombreux qui sont fondés sur l'emploi de la chaleur.

12.

La question des températures terrestres offre une des plus belles applications de la théorie de la chaleur; voici l'idée générale que l'on peut s'en former. Les différentes parties de la surface du globe sont inégalement exposées cà l'impression des rayons solaires; l'intensité de cette action dépend de la latitude du lieu; elle change aussi pendant la durée du jour et pendant celle de l'année, et est assujétie à d'autres inéga- lités moins sensibles. Il est évident qu'il existe, entre cet état variable de la surftice et celui des températures inté- rieures, une relation nécessaire que l'on peut déduire de la

lo THEORIE DE LA CHALEUR.

théorie. On sait qu'à une certaine profondeur au-dessous de la surface de la terre, la température n'éprouve aucune va- riation annuelle dans un lieu donné : cette température per- manente des lieux profonds est d'autant moindre, que le lieu est plus éloigné de réquateur..On peut donc faire abs- traction de l'enveloppe extérieure, dont l'épaisseur est in- comparablement plus petite que le rayon terrestre , et regarder cette planète comme une masse presque spbérique, dont la surface est assujétie à une température qui demeure constante pour tous les points d'un parallèle donné, mais qui n'est pas la même pour un autre parallèle. Il en résulte que chaque molécule intérieure a aussi une température fixe déterminée par sa position. La question mathématique con- sisterait à connaître la température fixe d'un point donné, et la loi que suit la chaleur solaire en pénétrant dans l'inté- rieur du globe.

Cette diversité des températures nous intéresse davantage, si l'on considère les changements qui se succèdent dans l'en- veloppe même dont nous habitons la superficie. Ces alter- natives de chaleur et de froid, qui se reproduisent chaque jour et dans le cours de chaque année, ont été jusqu'ici l'objet d'observations multipliées. On peut aujourd'hui les soumettre au calcul , et déduire d'une Théorie commune tous les faits particuliers que l'expérience nous avait ap- pris. Cette question se réduit à supposer que tous les points dé la surface d'une sphère immense sont affectés de tem- pératures périodiques ; l'analyse fait ensuite connaître sui- vant quelle loi l'intensité des variations décroît à mesure que la profondeur augmente; quelle est, pour une profon- deur donnée, la quantité des changements annuelis ou

CHAPITRE I. II

diurnes, 1 époque de ces changements , et comment la valeur fixe de la température souterraine se déduit des tempéra- tures variables observées à la surface.

i3. Les équations générales de la propagation de la chaleur sont aux différences partielles , et quoique la forme en soit très-simple, les méthodes connues ne fournissent aucun moyen général de les intégrer; on ne pourrait donc pas en déduire les valeurs des températures après un temps déterminé. Cette interprétation numérique des résultats du "calcul est cependant nécessaire, et c'est un degré de per- fection qu'il serait très-important de donner à toutes les applications de l'analyse aux sciences naturelles. On peut dire que tant qu'on ne l'a pas obtenu, les solutions de- meurent incomplètes ou inutiles, et que la vérité qu'on se proposait de découvrir n'est pas moins cachée dans les for- mules d'analyse, qu'elle ne l'était dans la question physique elle-même. Nous nous sommes attachés avec beaucoup de soin, et nous sommes parvenus à surmonter cette difficulté dans toutes les questions que nous avons traitées , et qui contiennent les éléments principaux de la Théorie de la chaleur. Il n'y a aucune de ces questions dont la solution ne fournisse des moyens commodes et exacts de trouver les valeurs numériques des températures acqftises, ou celles des quantités de chaleur écoulées, lorsqu'on connaît les va- leurs du temps et celles des coordonnées variables. Ainsi l'on ne donnera pas seulement les équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les fonctions qui expriment les valeurs des températures ; on donnera ces fonctions

2.

,ra THÉORIE DE LA CHALEUR.

elles-mêmes sous une forme qui facilite les applications numériques.

Pour que ces solutions fussent gene'rales et qu'elles eussent une étendue équivalente à celle de la question , il était nécessaire qu'elles pussent convenir avec l'état initial des températures qui est arbitraire. L'examen de cette condition fait connaître que l'on peut développer en séries conver- gentes, ou exprimer par des intégrales définies, les fonc- tions cjui ne sont point assujéties à une loi constante, et qui représentent les ordonnées des lignes irrégulières ou discontinues. Cette propriété jette lui nouveau jour sur la M

Théorie des équations aux différences partielles, et étend 1

l'usage des fonctions arbitraires en les soumettant aux pro- cédés ordinaires de l'analyse. ,

i5.

Il restait encore à comparer les faits avec la Théorie. On a entrepris, dans cette vue, des expériences variées et pré- cises, dont les résultats sont conformes à ceux du calcul, et lui donnent une autorité qu'on eût été porté à lui re- foser dans une matière nouvelle , et qui paraît sujette à tant d'incertitudes. Ces expériences confirment le principe dont on est parti , et qui est adopté de tous les physiciens , malgré la diversité de leurs hypothèses sur la nature de la chaleur.

i6.

L'équilibre de température ne s'opère pas seulement par la voie du contact, il s'établit aussi entre les corps séparés les uns des autres, et qui demeurent long - temps placés

!

CHAPITPxE 1. i3

dans un même lieu. Cet effet est indépendant du contact du milieu ; nous l'avons observé dans des espaces entière- ment vides d'air. Il fallait donc , pour compléter notre Théorie, examiner les lois que suit la chaleur rayonnante en s'éloignant de la superficie des corps. Il résulte des ob- servations de plusieurs physiciens et de nos propres expé- riences, que l'intensité des différents rayons qui sortent, dans tous les sens, de chaque point de la superficie d'un corps échauffé, dépend de l'angle que fait leur direction avec la surface dans ce même point. Nous avons démon- tré que l'intensité de chacjue rayon est d'autant moindre, qu'il fait avec l'élément de la surface un plus petit angle, et qu'elle est proportionnelle au sinus de cet angle. Cette loi générale de l'émission de la chaleur, que diverses obser- vations avaient déjà indiquée, est une conséquence néces- saire du principe de l'équilibre des températures et des lois de la propagation de la chaleur dans les corps solides. Telles sont les questions principales que l'on a traitées dans cet ouvrage ; elles sont toutes dirigées vers un seul but , qui est d'établir clairement les principes mathéma- tiques de la Théorie de la chaleur, et de concourir ainsi aux pi'ogrès des arts utiles et à ceux de l'étude de la nature.

On aperçoit par ce cjui précède, qu'il existe ime classe très-étendue de phénomènes qui ne sont point produits par des forces mécaniques , mais qui résultent seulement de la présence et de l'accumulation de la chaleur. Cette partie de la philosophie naturelle ne peut se rapporter aux théo- ries dynamiques , elle a des principes qui lui sont propres,

/

i4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

et elle est fondée sur une méthode semblable à celle des autres sciences exactes. Par exemple, la chaleur solaire qui pé- nètre l'intérieur du globe , s'y distribue suivant une loi régu- lière qui ne dépend point de celles du mouvement, et ne peut être déterminée par les principes de la mécanique. Les dilatations que produit la force répulsive de la chaleur, et dont l'observation sert à mesurer les températures, sont, à la vérité, des effets dynamiques; mais ce ne sont point ces dilatations que l'on calcule , lorsqu'on recherche les lois de la propagation de la chaleur.

i8. Il y a d'autres effets naturels plus composés , qui dépen- dent à-la-fois de l'influence de la chaleur et des forces at- tractives : ainsi les variations de température que les mou- vements du soleil occasionnent dans l'atmosphère et dans l'Océan, changent continuellement la densité des différentes parties de l'air et des eaux. L'effet des forces auxquelles ces masses obéissent est modifié à chaque instant par une nouvelle distribution de la chaleur, et l'on ne peut douter que cette cause ne produise les vents réguliers et les prin- cipaux courants de la mer; les attractions solaire et lu- naire n'occasionnent dans l'atmosphère que des mouvements peu sensibles , et non des déplacements généraux. Il était donc nécessaire, pour soumettre ces grands phénomènes au calcul, de découvrir les lois mathématiques de la propa- gation de la chaleur dans l'intérieur des masses.

19- On connaîtra, par la lecture de cet ouvrage, que la cha- leur affecte dans les corps une disposition régulière, indé-

CHAPITRE I. i5

pendante de la distribution primitive, que l'on peut re- garder comme arbitraire.

De quelque manière que la chaleur ait d'abord été ré- partie, le système initial des températures s'altérant de plus en plus, ne tarde point à se confondre sensiblement avec un état déterminé cjui ne dépend que de la figure du so- lide. Dans ce dei-nier état, les températures de tous les points s'abaissent en même temps, mais conservent entre elles les mêmes rapports ; c'est pour exprimer cette pro- priété que les formules analytiques contiennent des termes composés d'exponentielles et de quantités, analogues aux fonctions trigonométriques.

Plusieurs questions de mécanique présentent des résul- tats analogues, tels que l'isochronisme des oscillations, la résonnance multiple des corps sonores. Les expériences communes les avaient fait remarquer , et le calcul en a ensuite démontré la véritable cause. Quant à ceux cjui dé- pendent des changements de température , ils n'auraient pu être reconnus cpie par des expériences très - précises ; mais l'analyse mathématique a devancé les observations, elle sup- plée à nos sens , et nous rend en quelque sorte , témoins des mouvements réguliers et harmoniques de la chaleur dans

l'intérieur des corps.

20.

Ces considérations offrent un exemple singulier des rap- ports qui existent entre la science abstraite des nombres et les causes naturelles.

Lorsqu'une barre métallique est exposée par son extré- mité à l'action constante d'un foyer , et que tous ses points ont acquis leur plus haut degré de chaleur , le système des

i6 THÉORIE DE LA CHALEUR.

températures fixes correspond exactement à une table de logarithmes ; les nombres sont les élévations des thermo- mètres placés aux différents points , et les logarithmes sont les distances de ces points au foyer. En général, la cha- leur se répartit d'elle-même dans l'intérieur des solides, suivant une loi simple exprimée par une équation aux différences partielles, commune à des questions physicjues d'un ordre différent. L'irradiation de la chaleur a une re- lation manifeste avec les tables de sinus; car les rayons qui sortent d'un même point d'une surface échauffée, diffèrent beaucoup entre eux, et leur intensité est rigoureusement proportionnelle au sinus de l'angle qvie fait leur direction avec l'élément de la surface. Si l'on pouvait observer pour chaque instant et en chaque point d'une masse solide ho- mogène, les changements de température, on retrouverait dans la série de ces observations les propriétés des séries récurrentes, celle des sinus et des logarithmes; on les re- marquerait, par exemple, dans les variations diurnes ou annuelles des températures des différents points du globe terrestre, qui sont voisins de la surface.

On reconnaîti'ait encore les mêmes résultats et tous les éléments principaux de l'analyse générale dans les vibra- tions des milieux élastic|ues, dans les propriétés des lignes ou des surfaces courbes, dans les mouvements des astres, et ceux de la lumière ou des fluides. C'est ainsi que les fonctions obtenues par des différentiations successives, et qui servent au développement des séries infinies et à la résolution numérique des équations , correspondent aussi a des propriétés physiques. La première de ces fonctions, ûu la fluxion proprement dite, exprime, dans la géométrie.

CHAPITTxE 1. 17

rinclinaison de la tangente des lignes courlies, et dans la dynamique, la vitesse du mol^ile pendant le mouvement varie : elle mesure dans la théorie de la chaleur la quantité, qui s'écoule en chaque point d'un corps à travers une sur- face donnée. L'analyse mathématique a donc des rapports nécessaires avec les phénomènes sensibles ; son objet n'est point créé par l'intelligence de l'homme, il est un élément préexistant de l'ordre universel, et n'a rien de contingent et de fortuit ; il est empreint dans toute la nature.

21. Des observations plus précises et plus variées feront con- naître par la suite si les effets de la chaleur sont modifiés par des causes que l'on n'a point aperçues jusqu'ici , et la théorie acquerra une nouvelle perfection par la comparaison continuelle de ses résultats avec ceux des expériences ; elle expliquera des phénomènes importants que l'on ne pouvait point encore soumettre au calcul ; elle apprendra à déter- miner tous les effets thei-mométriques des rayons solaires, les températures fixes ou variables que fou observerait à différentes distances de l'équateur, dans l'intérieur du globe ou hors des limites de l'atmosphère, dans lOcéan ou dans les difféientes régions de fair. On en déduira la connais- sance mathématique des grands mouvements qui résultent de l'influence de la chaleur combinée avec celle de la gra- vité. Ces mêmes principes serviront à mesurer la conducibi- lité propre ou relative des différents corps, et leur capacité spécifique, à distinguer toutes les causes qui modifient l'émis- sion de la chaleur à la surface des solides, et à perfectionner les instruments thermométriques. Cette théorie excitera dans

. 3

i8 THÉORIE DE LA CHALEUR.

tous les temps l'attention des géomètres , par l'exactitude rigoureuse de ses éléments et les difficultés d'analyse qui lui sont propres, et sur-tout par l'étendue et l'utilité de ses ap- plications ; car toutes les conséquences qu'elles fournit inté- ressent la physique générale , les opérations des arts, les usages domestiques ou l'économie civile.

SECTION IL

Notions générales , et définitions préliminaires.

22.

On ne pourrait former que des hypothèses incertaines sur la nature de la chaleur , mais la connaissance des lois mathématiques auxquelles ses effets sont assujétis est indé- pendante de toute hypothèse ; elle exige seulement l'examen attentif des faits principaux que les observations communes ont indiqués , et qui ont été confirmés par des expériences précises.

Il est donc nécessaire d'exposer, en premier lieu, les ré- sultats généraux des observations , de donner des définitions exactes de tous les éléments du calcul , et d'établir les prin- cipes sur lesquels ce calcul doit être fondé.

L'action de la chaleur tend à dilater tous les corps so- lides, ou liquides, ou aériformes; c'est cette propriété qui rend sa présence sensible. Les solides et les liquides aug- mentent de volume, si l'on augmente la quantité de chaleur qu'ils contiennent; ils se condensent, si on la diminue.

Lorsque toutes les parties d'un corps solide homogène, par exemple, celles dune masse métallique, sont également

CHAPITRE I. 19

échauffées, et qu'elles conservent, sans aucun changement, cette même quantité de chaleur, elles ont aussi et conser- vent une même densité. On exprime cet état en disant cjue, dans toute l'étendue de la masse , les molécules ont une tempéi^ature commune et permanente.

23.

Le thermomètre est un corps dont on peut apprécier faci- lement les moindres changements de volume; il sert à mesu- rer les températures par la dilatation des liquides , ou par celle de l'air. Nous supposons ici que l'on connaît exactement la construction , l'usage et les propriétés de ces instruments. La température d'un corps dont toutes les parties sont égale- ment échauffées , et qui conserve sa chaleur , est celle qu'in- dique le thermomètre , s'il est et s'il demeure en contact par- fait avec le corps dont il s'agit.

Le contact est parfait lorsque le thermomètre est entière- ment plongé dans une masse liquide, et, en général, lors- qu'il n'y a aucun point de la surface extérieure de cet instru- ment qui ne touche un des points de la masse solide ou fluide dont on veut mesurer la température. Il n'est pas toujours nécessaire, dans les expériences, que cette condition soit rigoureusement observée; mais on doit la supposer pour que la définition soit exacte.

oA.

On détermine devrx températures fixes, savoir : la tempé- rature de la glace fondante, qui est désignée par o, et la température de l'eau bouillante que nous désignerons par i : on suppose que l'ébuUition de l'eau a lieu sous une pression de l'atmosphère représentée par une certaine hauteur du

- 3.

ao THEORIE DE LA CHALEUR.

baromètre ( 76 centimètres) , le mercure du baromètre étant à la température o.

25.

On mesure les différentes quantités de chaleur en déter- minant combien de fois elles contiennent une quantité que l'on a fixée et prise pour unité. On suppose qu'une masse de glace d'un poids déterminé (un kilogramme) soit à la température o, et que, par l'addition d'une certaine quan- tité de clialeur, on la convertisse en eau à la même tempé- rature o : cette quantité de cbaleur ajoutée est la mesure prise pour unité. Ainsi la quantité de chaleur exprimée par un nombre C contient un nombre C de fois la quantité nécessaire pour résoudre un kilogramme de glace cjui a la température zéro , en une inasse d'eau qui a la même tem- pérature zéro.

26.

Pour élever une masse métallique d'un certain poids, par exemple, un kilogramme de fer, depuis la température o jusqu'à la température i , il est nécessaire d'ajouter une nouvelle c[uantité de chaleur à celle qui était déjà contenue dans cçtte masse. Le nombre C, qui désigne cette quantité de chaleur ajoutée, est la capacité spécifique de chaleur du fer; le nombre C a des valeurs très-différentes polir les diffé- rentes substances.

Si un corps d'une nature et d'un poids déterminés (un kilogramme de mercure) occupe le volume V, étant à la température o , il occupera un volume plus grand V + A , lorsqu'il aura acquis la température i , c'est-à-dire lorsqu'on

CHAPITRE i. ■j.i

aura augmenté la chaleur qu'il contenait étant à la tempe'- rature o, d'une nouvelle quantité C, égale à sa capacité spécifique de chaleur. Mais si, au lieu d'ajouter cette quan- tité C, on ajoute s C (z étant un nombre positif ou négatif), le nouveau volume sera V + .^, au lieu d'être V + A. Or les expériences font connaître que si z est égal à ^, l'ac- croissement de volume ^ est seulement la moitié de l'accrois- sement total A, et qvi'en général, la valeur de ^ est z A, lors- que la quantité de chaleur ajoutée est z C.

28. Ce rapport z des deux quantités de chaleur ajoutées r; C et C , qui est aussi celui des deux accroissements de volume ^ et A, est ce que l'on nomme la température ; ainsi le nombre qui exprime la température actuelle d'un corps représente l'excès de son volume actuel sur le volume qu il occuperait à la température de la glace fondante, l'unité représentant l'excès total du volume qui correspond à l'ébullition de l'eau, sur le volume qui correspond à la glace fondante.

Les accroissements de volume des corps sont en général proportionnels aux accroissements des quantités de chaleur qui produisent les dilatations ; il faut remarquer que cette proposition n'est exacte que dans les cas oii les corps dont il s'agit sont assujétis à des températures éloignées de celles qui déterminent leur changement d'état. On ne serait point fondé à appliquer ces résultats à tous les liquides; et, à l'égard de l'eau en particulier, les dilatations ne suivent point toujours les augmentations de chaleur.

En général , les températures sont des nombres propor- tionnels aux quantités de chaleur ajoutées, et dans les cas

^

23 THÉORIE DE LA CHALEUR.

que nous considérons, ces nombres sont aussi proportionnels aux accroissements du volume.

3o.

Supposons qu'un corps termine' par une surface 'plane d'une certaine étendue (un mètre carré) soit entretenu d'une manière cpielconque à une température constante i , com- mune à tous ses points, et que la surface dont il s'agit soit en contact avec l'air, maintenu à la température o : la cha- leur qui s'écovdera continuellement par la surface , et passera dans le milieu environnant, sera toujours remplacée par celle qui provient de la cause constante à l'action de laquelle le corps est exposé ; il s'écoulera ainsi par la surface , pendant un temps déterminé (une minute), une certaine quantité de chaleur désignée par h. Ce produit A, d'un flux continuel et toujours semblable à lui-même, qui a lieu pour une unité de surface à une température fixe, est la mesure de la con- ducibilité extérieure du corps, c'est-à-dire, de la facilité avec laquelle sa surface transmet la chaleur à l'air atmosphé- rique.

On suppose que l'air est continuellement déplacé avec une vitesse uniforme et donnée; mais si la vitesse du courant augmentait , la quantité de chaleur qui se communique au milieu varierait aussi ; il en serait de même si l'on augmentait la densité de ce milieu.

3t.

Si l'excès de la température constante du corps sur la températui'e des corps environnants, au lieu d'être égale à I, comme on l'a supposé, avait une valeur moindre, la (juantité de chaleur dissipée serait moindre que h. Il résulte des observations, comme on le verra par la suite, que cette

CHAPITRE I. 23

quantité de chaleur perdue peut être regardée comme sen- siblement proportionnelle à l'excès de la température du corps sur celle de l'air et des corps environnants. Ainsi la quantité h ayant été déterminée par une expérience dans laquelle la surface échauffée est à la température i , et le milieu à la température o ; on en conclut qu'elle aurait la valeur hz, si la température de la surface était z, toutes les autres circonstances demeurant les mêmes. On doit admettre ce résultat lorsque z est une petite fraction.

32.

La valeur h de la quantité de chaleur cjui se dissipe à travers la surface échauffée, est différente pour les différents corps; et elle varie pour un même corps, suivant les divers états de la surface. L'effet de l'irradiation est d'autant moin- dre, que la surface échauffée est plus polie ; de sorte qu'en faisant disparaître le poli de la surface, on augmente consi- dérablement la valeur de h. Un corps métallique échauffé se refroidira beaucoup plus vite, si l'on couvre sa surface exté- rieure d'un enduit noir, propre à ternir entièrement l'état métallique.

33.

Les rayons de chaleur qui s'échappent de la surface d'un corps, parcourent librement les espaces vides d'air; ils se propagent aussi dans l'air atmosphérique : leur direction n'est point troublée par les agitations de l'air intermédiaire: ils peuvent être réfléchis, et se réunissent aux foyers des mi- roirs métalliques. Les corps dont la température est élevée, et que l'on plonge dans un liquide , n'échauffent immédia- tement que les parties de la masse qui sont en contact avec leur surface. Les molécules, dont la distance à cette surface

24 THEORIE DE LA CHALEUR.

n'est pas extrêmement petite, ne reçoivent point de chaleur directe; il n'en est pas de même des fluides aériformes; les rayons de chaleur s'y portent avec une extrême rapidité à des distances considérables , soit qu'une partie de ces rayons traverse librement les couches de l'air, soit que celles-ci se les transmettent subitement sans en altérer la direction.

34. Lorsque le corps échauffé est placé dans un air qui con- serve sensiblement une température constante , la chaleur qui se communique à l'air rend plus légère la couche de ce fluide voisine de la surface ; cette couche s'élève d'autant plus vite , qu'elle est plus échauffée , et elle est remplacée par une autre masse d'air froid. Il s'établit ainsi un courant d'air dont la direction est verticale, et dont la vitesse est d'autant plus grande, que la température du corps est plus élevée. C'est pourquoi, si le corps se refroidissait successivement, la vitesse du courant diminuerait avec la température, et la loi du refroidissement ne serait pas exactement la même que si le corps était exposé à un courant d'air d'une vitesse constante.

35. Lorsque les corps sont assez échauffés pour répandre une très-vive lumière, une partie de leur chaleur rayonnante, mêlée à cette lumière , peut traverser les solides ou les liquides transparents; et elle est sujette à la force qui pro- duit les réfractions. La quantité de chaleur qui jouit de cette faculté est d'autant moindre, que les corps sont moins en- tlammés; elle est, pour ainsi dire, insensible pour les corps très-obscurs', quelque échauffés qu'ils soient. Une lame mince t't diaphane intercepte presque toute la chaleur directe qui sort d'une masse métallique ardente ; mais elle s'échauffe

CHAPITRE I. a5

à mesure que les rayons interceptes s'y accumulent; ou, si elle est formée d'eau glacée , elle devient liquide ; si cette lame de glace est exposée aux rayons d'un flambeau, elle laisse passer avec la lumière une chaleur sensible.

36. Nous avons pris pour mesure de la conducibilité extérieure d'un corps solide un coefficient h, exprimant la quantité de chaleur qui passerait, pendant un temps déterminé (une minute), de la surface de ce corps dans l'air atmosphérique, en supposant que la surface ait une étendue déterminée (un mètre quarré), que la température constante du corps soit I , que celle de l'air soit o , et que la surface échauffée soit exposée à un courant d'air d'une vitesse donnée invariable. On détermine cette valeur de A par les observations. La quan- tité de chaleur exprimée par le coefficient se forme de deux parties distinctes, qui ne peuvent être mesurées que par des expériences très-précises. L'une est la chaleur communiquée par voie de contact à lair environnant ; l'autre , beaucoup moindre que la première , est la chaleur rayonnante émise. On doit supposer, dans les premières recherches, que la quantité de chaleur perdue ne change point, si Ton aug- mente d'une quantité commune et assez petite la tempéra- ture du corps échauffé et celle du milieu.

Les substances solides diffèrent encore , comme nous l'avons dit, par la propriété qu'elles ont d'être plus ou moins perméables à la chaleur ; cette qualité est leur conducibilité propre : nous en donnerons la définition et la mesure exacte, après avoir traité de la propagation uniforme et linéaire de la chaleur. Les substances liquides jouissent aussi de la faculté

4

z6 THÉORIE DE LA CHALEUR.

de transmettre la chaleur de mote'cule à molécule, et la va- leur numérique de leur conducibilité varie suivant la nature de ces substances ; mais on en observe difficilement l'effet dans les liquides, parce que leuTs molécules changent de si- tuation en changeant de température. C'est de ce déplace- ment continuel que résulte principalement la propagation de la chaleur, toutes les fois que les parties inférieures de la masse sont les plus exposées à l'action du foyer. Si, au con- ti-aire, on applique le foyer à la partie de la masse qui est la plus élevée, comme cela avait lieu dans plusieurs de nos expériences, la transmission de la chaleur, qui est très-lente, n'occasionne aucun déplacement, à moins que l'accroisse- ment de la température ne diminue le volume, ce que l'on remarque en effet dans des cas singuliers voisins des chan- gements d'état.

'^'^ 38.

"A. cet exposé des résultats principaux des observations, il fatit ajouter une remarque générale sur l'équilibre des tem- pératures ; elle consiste en ce que les différents corps qui sont placés dans un même lieu , dont toutes les parties sont et demeurent également échauffées, y acquièrent aussi une température commune et permanente.

Supposons que tous les points d'une masse M aient une température commune et constante a, qui est entretenue par une cause quelconque : si l'on met un corps moindre/» en contact parfait avec la masse M, il prendra la tempéra- ture commune a. A la vérité, ce résultat n'aurait lieu rigou- reusement qu'après un temps infini ; mais le sens précis de la proposition est que si le corps m avait la température a avant d'être mis en contact, il la conserverait sans aucun

CHAPITRE I. 27

changement. Il en serait de même d'une multitude d'autres corps, n, p, q, r, dont chacun serait mis séparément en contact parfait avec la masse M ; ils acquerraient tous la tem- pérature constante a. Ainsi le thermomètre étant successi- vement appliqué aux différents corps m, n, p, q, r. . . . in- diquerait cette même température.

39.

L'effet dont il s'agit est indépendant du contact, et il au- rait encore lieu , si le corps m était enfermé de toutes parts dans le solide M , comme dans une enceinte , sans toucher aucune de ses parties. Par exemple, si ce solide était une enveloppe sphérique d'une certaine épaisseur , entretenue par une cause extérieure à la température a, et renfermant un espace entièrement vide d'air, et si le corps m pouvait être placé dans une partie quelconque de cet espace sphé- rique, sans qu'il touchât aucun point de la surface intérieure de l'enceinte, il acquerrait la température commune a, ou plutôt il la conserverait s'il l'avait déjà. Le résultat se- rait le même pour tous les autres corps n, p , q, r, soit qu'on les plaçât séparément ou ensemble dans cette même enceinte , et quelles que fussent d'ailleurs leur espèce et leur figure.

4o.

De toutes les manières de se représenter l'action de la cha- leur, celle qui paraît la plus simple et la plus conforme aux observations , consiste à comparer cette action à celle de la lumière. Les molécules éloignées les unes des autres se communiquent réciproquement à travers les espaces vides

M.

28 THÉORIE DE LA CHALEUR.

d'air ; leurs rayons de chaleur , comme les corps éclaires , se

transmettent leur lumière. ,

Si dans une enceinte fermée de toutes parts, et entretenue par une cause extérieure à une température fixe a , on sup- pose que divers corps sont placés sans qu'ils touchent au- cune des parties de l'enceinte , on observera des effets dif- férents , suivant que les corps introduits dans cet espace vide d'air sont plus ou moins échauffés. Si l'on place d'abord un seul de ces corps, et qu'il ait la température même de l'enceinte, il enverra par tous les points de sa surface autant de chaleur qu'il en reçoit du solide qui l'environne, et c'est cet échange de quantités égales qui le maintient dans son premier état.

Si l'on introduit un second corps dont la température h soit moindre que a, il recevra d'abord , des surfaces qui l'en- vironnent de tovites parts sans le toucher, une quantité de chaleur plus grande que celle qu'il envoie : il s'échauffera de plus en plus, et il perdra par sa surface plus de chaleur qu'auparavant. La température initiale h s'élevant continuel- lement, s'approchera sans cesse de la température fixe a, en sorte qu'après un certain temps, la différence sera presque insensible. L'effet serait contraire, si l'on plaçait dans la même enceinte un troisième corps dont la température se- rait plus grande que a.

4r. Tous les corps ont la propriété d'émettre la chaleur par leur surface; ils en envoient d'autant plus, qu'ils sont plus échauffés ; l'intensité des rayons émis change très-sensible- ment avec l'état de la superficie.

CHAPITRE I. 29

42.

Toutes les surfaces qui reçoivent les rayons de la chaleur des corps environnants, eu réfléchissent une partie, et ad- mettent l'autre : la chaleur qui n'est point réfléchie , mais qui s'introduit par la surface, s'accumule dans le solide; et tant qu'elle surpasse la quantité qui se dissipe par l'irra- diation , la température s'élève.

43.

Les rayons qui tendent à sortir des corps échauffés sons arrêtés vers la surface par une force Cjui en réfléchit une partie dans l'intérieur de la masse. La cause cpii empêche les rayons incidents de traverser la superficie, et C[ui divise ces rayons en deux parties, dont l'une est réfléchie, et dont l'autre est admise, agit de la même manière sur les rayons qui se dirigent de l'intérieur du corps vers l'espace extérieur.

Si en modifiant l'état de la surface , on augmente la force avec lac[uelle elle réfléchit les rayons incidents, on aug- mente en même temps la faculté cpielle a de réfléchir vers l'intéï'ieur du corps les rayons qui tendent h en sortir. La quantité des rayons incidents cpii s'introduisent dans la masse, et celle des rayons émis par la surface, sont égale- ment diminuées.

44. .

Si l'on plaçait ensemble dans l'enceinte dont nous avons parlé, une multitude de corps éloignés les uns des autres et inégalement échauffés , ils recevraient et se transmettraient leurs rayons de chaleur, en sorte cjue dans cet échange leurs températures varieraient continuellement , et ten- draient toutes à devenir égales à la température fixe de l'enceinte.

3o THÉORIE DE LA CHALEUR.

Cet effet est précisément celui qui a lieu lorsque la cha- leur se propage dans les corps solides ; car les molécules qui composent les corps sont séparées par des espaces vides d'air, et ont la propriété de recevoir, d'accumuler et d'é- mettre la chaleur. Chacune d'elles envoie ses rayons de toutes parts, et en même temps elle reçoit ceux des molé- cules qui l'environnent.

45.

La chaleur envoyée par un point situé dans l'intérieur d'une masse solide, ne peut se porter directement cju'à une distance extrêmement petite; elle est, pour ainsi dire, inter- ceptée par les particules les plus voisines; ce sont ces der- nières seules qui la reçoivent immédiatement , et qui agissent sur les points plus éloignés. Il n'en est pas de même des fluides aériformes; les effets directs de l'iri^adiation y devien- nent sensibles à des distances très-considérables.

46.

Ainsi la chaleur qui sort dans toutes les directions d'une partie d'une surface solide, pénètre dans l'air jusqu'à des points forts éloignés ; mais elle n'est émise que par les mo- lécules du corps, qui sont extrêmement voisines de la sur- | face. Un point d'une masse échauffée, placé à une très- petite distance de la superficie plane qui sépare la masse de l'espace extérieur, envoie à cet espace inie infinité de rayons; mais ils n'y parviennent pas entièrement; ils sont diminués de toute la quantité de chaleur qui s'arrête sur les molécules solides intermédiaires. La partie du rayon qui se dissipe dans l'espace est d'autant moindre, qu'elle traverse un plus long intervalle dans la masse. Ainsi le rayon qui sort perpendiculairement à la superficie a plus

CHAPITRE k; • 3i

d'intensité que celui qui, partant du rflêmë point, suit une direction oblique, et les rayons les plus obliques sont entiè- rement interceptés.

La même conséquence s'applique à tous les points qui sont assez voisins de la superficie pour concourir à l'émis- sion de la chaleur, il en résulte nécessairement que la quan- tité totale de chaleur qui sort de la surface sôus la direction perpendiculaire est beaucoup plus grande que celle dont la direction est oblique. Nous avons soumis cette question au calcul , et l'analyse que nous en avons faite démontre que l'intensité du rayon est proportionnelle au sinus de l'angle que ce rayon fait avec l'élément de la surface. Les expériences avaient déjà indiqué un résultat semblable.

47- _

Ce théorème exprime une loi générale qui a une con- nexion nécessaire avec l'équilibre et le mode d'action de la chaleur. Si les rayons qui sortent d'une suiface échauffée avaient la même intensité dans toutes les directions , le ther- momètre que l'on placerait dans un des points de l'espace terminé de tous côtés par une enceinte entretenue à uhe température constante, pourrait indiquer une température incomparablement plus ^ande que celle de l'enceinte. Les corps que l'on enfermerait dans cette enceinte ne pren- draient point une température commune , ainsi qu'on le remarque toujours ; celle qu'ils acquerraient dépendrait du lieu qu'ils occuperaient, ou de leur forme, ou de celles des corps voisins.

On observerait ces mêmes résultats ou d'autres effets éga- lement contraires à l'expérience commune, si l'on admettait entre les rayons qui sortent d'un même point , des rapports

32 THÉORIE DE LA CHALEUR.

différents de ceux que l'on a énoncés. Nous avons reconnu que cette loi est seule compatible avec le fait général de l'équilibre de la chaleur rayonnante.

48. ^

Si un espace vide d'air est terminé de tous côtés par une enceinte solide dont les parties sont entretenues à une tem- pérature commune et constante a, et si l'on met en un point quelconque de l'espace un thermomètre qui ait la tempéra- ture actuelle /7, il la conservera sans aucun changement. Il recevra donc à chaque instant de la surface intérieure de l'enceinte autant de chaleur qu'il lui en envoie. Cet effet des rayons de chaleur dans un espace donné est, à proprement parler, la mesure de la température : mais cette considéra- tion suppose la théorie mathématique de la chaleur rayon- nante. Si l'on place maintenant entre le thermomètre et une partie de la surface de l'enceinte un corps M dont la tempé- rature soit a, le thermomètre cessera de recevoir les rayons d'une partie de cette surface intérieure, mais ils seront rem- placés par ceux qu'il recevra du corps interposé M. Un cal- cul facile prouve que la compensation est exacte, en sorte que l'état du thermomètre ne sera point changé. Il n'en est pas de même si la température du corps M n'est pas égale à celle de l'enceinte. Lorsqu'elle est plus grande, les rayons que le corps interposé M envoie au thermomètre et qui rem- placent les rayons interceptés, ont plus de chaleur que ces derniers; la température du thermomètre doit donc s'élever.

Si, au contraire, le corps intermédiaire a une température moindre que a, celle du thermomètre devra s'abaisser; car les rayons que ce corps intercepte sont remplacés par ceux qu'il envoie, c'est-à-dire, par des rayons plus froids que ceux

CHAPITRE I. 33

de l'enceinte, ainsi le thermomètre ne reçoit pas toute h chaleur qui serait nécessaire pour maintenir sa tempéra- ture a. ■

On a fait abstraction jusqu'ici de la faculté qu'ont toutes les surfaces de réfléchir une partie des rayons qui leur sont envoyés. Si l'on ne considérait point cette propriété, on n'aurait qu'une idée très -incomplète de l'équilibre de la chaleur rayonnante. ■■ • ,

Supposons donc que dans la surface intérieure de l'en- ceinte entretenue à une température constante, il y ait une portion qui jouisse, à un certain degré, de la faculté dont il s'agit ; chaque point de la surface réfléchissante enverra dans l'espace deux espèces de rayons ; les uns sortent de l'intérieur même de la substance dont l'enceinte est formée, les autres sont seulement réfléchis par cette même surface, à laquelle ils ont été envoyés. Mais en même -temps que la surface repousse à l'extérieur une partie des rayons incidents, elle retient dans l'intérieur une partie de ses propres rayons. Il s'établit à cet égard une compensation exacte, c'est-à-dire, que chacun des rayons propres, dont la surface empêche l'émission , est remplacé par un rayon réfléchi d'une égale intensité.

Le même résultat aurait lieu si la faculté de réfléchir les rayons affectait à un degré quelconque d'autres parties de l'enceinte, ou la superficie des corps placés dans le même espace, et parvenus à la température commune.

Ainsi , la réflexion de la chaleur ne trouble point l'équi- libre des températures, et n'apporte, pendant que cet équi-

5

34 THÉORIE DE LA CHALEUR.

libre subsiste, aucun changement à la loi suivant laquelle l'intensité des rayons qui partent d'un même point décroît proportionnellement au sinus de l'angle d'émission.

5o.

Supposons que dans cette même enceinte, dont toutes les parties conservent la température a, on place un corps isolé M, et une surface métallique polie R, qui, tournant sa conca- vité vers le corps, réfléchisse une grande partie des rayons qu'elle en reçoit ; si l'on place entre le corps M et la surface réfléchissante R, un thermomètre qui occupe le foyer de ce miroir, on observera trois effets différents, selon que la tem- péi^ature du corps M sera égale à la température commune a, ou sera plus grande, ou sera moindre.

Dans le premier cas, le thermomètre conserve la tempéra- ture a ; il reçoit, i° des rayons de chaleur de toutes les par- ties de l'enceinte qui ne lui sont point cachées par le corps M ou par le mircir ; 2° des rayons envoyés par le corps ; 3° ceux que la surface R envoie au foyer, soit qu'ils viennent de la masse même du miroir, soit que la surface les ait seulement réfléchis ; et parmi ces derniers on peut distinguer ceux qui sont envoyés au miroir par la masse M, et ceux qu'il reçoit de l'enceinte. Tous les rayons dont il s'agit pro- viennent des surfaces qui, d'après l'hypothèse, ont une tem- pérature commune a, en sorte que le thermomètre est préci- sément dans le même état que si l'espace terminé par l'enceinte ne contenait point d'autre corps que lui.

Dans le second cas, le thermomètre placé entre le corps échauffé M et le miroir, doit acquérir une température plus grande que a. En effet , il reçoit les mêmes rayons que dans la première hypothèse; mais il y a deux différences remar-

CHAPITRE 1. 35

quables : l'une provient de ce que les rayons envoye's par le corps M au miroir, et réfléchis sur le thermomètre, con- tiennent plus de chaleur que dans le premier cas. L'autre différence provient des rayons que le corps M envoie direc- tement au thermomètre , et qui ont plus de chaleur qu'aupa- ravant. L'une et l'autre cause, et principalement la première, concourent à élever la température du thermomètre.

Dans le troisième cas, c'est-à-dire, lorsque la température de la masse M est moindre que a, le thermomètre doit prendre aussi une température moindre tpie a. En effet, il reçoit encore toutes les espèces de rayons que nous avons distinguées pour le premier cas : mais il y en a deux sortes qui contiennent moins de chaleur cjue dans cette première hypothèse, savoir ceux qui, envoyés par le corps M, sont réfléchis par le miroir sur le thermomèti'e, et ceux c[ue le même corps M lui envoie directement. Ainsi, le thermo- mètre ne reçoit pas toute la chaleur qui lui est nécessaire pour conserver sa température primitive a. Il envoie plus de chaleur c|u'il n'en reçoit. Il faut donc que sa température s'abaisse jusqu'à ce que les rayons cju'il reçoit suffisent pour compenser ceux qu'il perd. C'est ce dernier effet que l'on a nommé la réflexion du froid, et qui, à proprement parler, consiste dans la réflexion d'une chaleur trop faible. Le miroir intercepte une certaine quantité de chaleur, et la remplace par une moindre quantité.

Si l'on place dans l'enceinte entretenue à une température constante a un corps M dont la température d soit moinilre que a , k présence de ce corps fera baisser le thermomètre exposé à ses rayons, et l'on doit remarquer qu'en général

5.

36 THÉORIE DE LA CHALEUR.

ces rayons, envoyés au thermomètre par la surface du corps M, sont de deux espèces, savoir ceux qui sortent de l'inté- rieur de la masse M, et ceux qui, venant des diverses parties de l'enceinte, rencontrent la surface M, et sont réfléchis sur le thermomètre. Ces derniers ont la température commune a, mais ceux qui appartiennent au corps M contiennent moins de chaleur, et ce sont ces rayons qui refroidissent le thermomètre. Si maintenant, en changeant l'état de la sur- face du corps M, par exemple, en détruisant le poli, on diminue la faculté qu'elle a de réfléchir les rayons incidents; le thermomètre s'abaissera encore, et prendra une tempé- rature a moindre que a!. En effet, toutes les conditions seront les mêmes que dans le cas précédent, si ce n'est que la masse M envoie une plus grande quantité de ses propres rayons, et réfléchit une moindre quantité des rayons qu'elle reçoit de l'enceinte ; c'est-à-dire , que ces derniers , qui ont la température commune , sont en partie remplacés par des rayons plus froids. Donc, le thermomètre ne reçoit plus autant de chaleur qu'auparavant.

Si, indépendamment de ce changement de la surface du corps M, on place un miroir métallique propre à réfléchir sur le thermomètre les rayons sortis de M, la température prendra une valeur à" moindre que d . En effet, le miroir intercepte au thermomètre une partie des rayons de l'en- ceinte qui ont tous la température a, Ç.X. les remplace par trois espèces de rayons ; savoir : i ° ceux qui proviennent de l'intérieur même du miroir, et qui ont la température com- mune ; 2<* ceux que diverses parties de l'enceinte envoient au miroir avec cette même température, et qui sont réfléchis vers le foyer; 3° ceux qui, venant de l'intérieur du corps M,

CHAPITRE I. 3;

tombent sur le miroir, et sont réfléchis sur le thermomètre. Ces derniers ont une température moindre que a ; donc le thermomètre ne reçoit plus autant de chaleur qu'il en rece- vait avant que l'on ne plaçât le miroir.

Enfin , si l'on vient à changer aussi l'état de la surface du miroir, et qu'en lui donnant un poli plus parfait, on aug- mente la faculté de réfléchir la chaleur, le thermomètre s'abaissera encore. En effet , toutes les conditions qui avaient lieu dans le cas précédent subsistent. Il arrive seulement que le miroir envoie une moindre quantité de ses propres rayons, et il les remplace par ceux qu'il réfléchit. Or, parmi ces der- niers, tous ceux qui sortent de l'intérieur de la masse M ont moins d'intensité que s'ils venaient de lintérieur du miroir métallique ; donc , le thermomètre reçoit encore moins de chaleur cju'auparavant ; il prendra donc une température a" moindre que «a'". , ^

On explique facilement par les mêmes principes tous les effets coiuîus de l'irradiation de la chaleur ou du froid.

Sa. .

Les effets de la chaleur ne peuvent nullement être com- parés à ceux d'un fluide élastic|ue, dont les molécules sont en repos. Ce serait inutilement que l'on voudrait déduire de cette hypothèse les lois de la propagation que nous expli- quons dans cet ouvrage, et que toutes les expériences ont confirmées. L'état libre de la chaleur est celui de la lumière ; l'habitude de cet élément est donc entièrement différente de celle des substances aériformes. La chaleur agit de la même manière dans le vide, dans les fluides élastiques, et dans les masses hquides ou solides, elle ne s'y propage que par voie

38 THÉORIE DE LA CHALEUR.

d'irradiation , mais ses effets sensibles différent selon la nature des corps.

53.

La chaleur est le principe de toute élasticité ; c'est sa force répulsive qui conserve la figure des masses solides, et le vo- lume des liquides. Dans les substances solides, les molécules voisines céderaient à leur attraction mutuelle , si son effet n'était pas détruit par la chaleur qui les sépare.

Cette force élastique est d'autant plus grande que la tem- pérature est plus élevée; c'est pour cela que les corps se dilatent ou se condensent , lorsqu'on élève ou lorsqu'on abaisse leur température.

54.

L'équilibi'e qui subsiste dans l'intérieur d'une masse solide entre la force répulsive de la chaleur et l'attraction molécu- laire est stable; c'est-à-dire qu'il se rétablit de lui-même lorsqu'il est troublé par une cause accidentelle. Si les molé- cules sont placées à la distance qui convenait à l'équilibre, et si une force extérieure vient à augmenter cette distance sans que la température soit changée , l'effet de l'attraction commence à surpasser celui de la chaleur, et ramène les molécules à leur position primitive, après une multitude d'oscillations qui deviennent de plus en plus insensibles.

Un effet semblable s'opère en sens opposé lorsqu'une cause mécanique diminue la distance primitive des molécules ; telle est l'origine des vibrations des corps sonores ou flexibles, et de tous les effets de leur élasticité.

G5.

oc

Dans l'état liquide ou aériforme, la compression extérieure s'ajoute ou supplée à ratti\iction moléculaire, et, s'exerçant

CHAPITRE I. 39

sur les surfiices, elle ne s'oppose point au changement de figure , mais seulement à celui du volume occupé. L'emplo du calcul ferait mieux connaître comment la force répulsive de la chaleur, opposée à l'attraction des molécules ou à la compression extérieure, concourt à la composition des corps solides ou liquides, formés d'un ou plusieurs principes, et détermine les propriétés élasticjues des fluides aériformes; mais ces recherches n'appartiennent point à l'objet que nous traitons, et l'entrent dans les théories dynamiques.

56. ■: ' ■ ^> ■' r -^^.-"^^^

On ne peut douter que le mode d'action de la chaleur ne consiste toujours , comme celui de la lumière , dans la com- munication réciproque des rayons , et cette explication est adoptée aujourd'hui de la plupart des physiciens; mais il n'est point nécessaire de considérer les phénomènes sous cet aspect pour établir la théorie de la chaleur. On reconnaîtra, dans le cours de cet ouvrage, que les lois de l'équilibre de la chaleur rayonnante et celles de la propagation , dans les masses solides ou liquides, peuvent, indépendamment de toute expHcation physique, être rigoureusement démontrées comme des conséquences nécessaires des observations com- munes.

SECTION III.

Principe de la communication de la chaleur.

Nous allons présentement examiner ce cjue les expériences nous apprennent sur la communication de la chaleur. Si deux molécules égales sont formées de la même sub-

4o THÉORIE DE LA CHALEUR.

stance et ont la même température, chacune d'elles reçoit de l'autre autant de chaleur qu'elle lui en envoie; leur action mutuelle doit donc être regardée comme nulle, parce que le résultat de cette action ne peut apporter aucun change- ment dans l'état des molécules. Si, au contraire, la première est plus échauffée que la seconde, elle lui envoie plus de chaleur qu'elle n'en reçoit; le résultat de l'action mutuelle est la différence de ces deux quantités de chaleur. Dans tous les cas , nous faisons abstraction des quantités égales de chaleur que deux points matériels quelconques s'envoient réciproquement; nous concevons que le point le plus échauffé agit seul sur l'autre , et qu'en vertu de cette action , le premier perd une certaine quantité de chaleur qui est ac- quise par le second. Ainsi l'action de deux molécules , ou la quantité de chaleur que la plus échauffée communique à l'autre, est la différence des deux quantités qu'elles s'en- voient réciproquement.

58. Supposons que l'on place dans l'air un corps solide ho- mogène, dont les différents points ont actuellement des^ températures inégales; chacune des molécules dont le corps est composé commencera à recevoir de la chaleur de celles qui en sont extrêmement peu distantes, ou leur en commu- niquera. Cette action s'exerçant pendant le même instant entre tous les points de la masse, il en résultera un chan- gement infiniment petit pour toutes les températures : le solide éprouvera à chaque instant des eftéts semblables ; en sorte que les variations de température deviendront de plus en plus sensibles. Considérons seulement le système de deux molécules égales et extrêmement voisines, m et n, et cher-

CHAPITRE I. 4t

chons quelle esl la quantité de chaleur que la première peut recevoir do la seconde pendant la durée d'un instant; on appliquera ensuite le même raisonnement à tous les autres points qui sont assez voisins du point ni pour agir immé- diatement sur lui dans le premier instant.

La quantité de chaleur comnnmiquée })ar le point // au point m dépend de la durée de l'instant , de la distance ex- trêmement petite de ces points, de la température actuelle de chacun, et de la nature de la substance solide; c'est-à-dire que si l'un de ces éléments venait à varier, tous les autres demeui'ant les mêmes, la quantité de chaleur transmise va- rierait aussi. Or, les expériences ont fait connaître, à cet égard, un résultat général : il consiste en ce que toutes les autres circonstances étant les mêmes, la quantité de chaleur que l'une des molécules reçoit de l'autre est proportionnelle à la différence de température de ces deux molécules. Ainsi cette quantité serait double, triple, quadruple, si, tout restant d'ailleurs le même, la différence de la température du point n à celle du point ni était double, ou triple, ou quadruple. Pour se rendre raison de ce résultat, il fout considérer que l'action de n sur ni est toujours d'autant plus grande qu'il y a plus de différence entre les températures des deux points; elle est nulle, si les températures sont égales, mais si la molécule n contient plus de chaleur que la molécule égale ni, c'est-à-dire si la température de ni étant V , celle de n est v -\- A, une portion de la chaleur excédante passera de n à m. Or, si l'excès de chaleur était double, ou, ce qui est la même chose, si la température de n était v + aA, la chaleur excédante serait composée de deux parties éi;;iles

(i

42 THÉORIE DE LA CHALEUR.

correspondantes aux deux moitiés de la différence totale des températures aA ; cTiacune de ces parties aurait son effet propre comme si elle était seule : ainsi la quantité de chaleur communiquée par n à m serait deux fois plus grande que si la différence des températures était seulement A. C'est cette action simultanée des différentes parties de la chaleur excé- dante qui constitue le principe de la communication de la chaleur. Il en résulte que la somme des actions partielles, ou la quantité totale de chaleur que m reçoit de n , est pro- portionnelle à la différence des deux températures.

En désignant par v et v les températures des deux molé- cules égales m et n; par ^, leur distance extrêmement petite , et par d t , la durée infiniment petite de l'instant , la cjuantité de chaleur que m reçoit de n, pendant cet instant, sera exprimée par (a'' — 1>^ o {p).dt. On désigne par ip (yj) une certaine fonction de la distance p qui , dans les corps solides et dans les licjuides, devient nulle lorsque/? a une grandeur sensible. Cette fonction est la môme pour tous les points d'une même substance donnée; elle varie avec la na- ture de la substance.

60.

La quantité de chaleur rjue les corps perdent par leur surface est assujétie au même principe. Si l'on désigne par c l'étendue ou finie ou infiniment petite de la surface dont tous les points ont la température v, et si a représente la température de l'air atmosphérique, le coefficient h étant la mesure de la conducibilité extérieure, on aura c h (v — a) d t pour l'expression de la quantité de chaleur que cette surface <7 transmet à l'air pendant l'instant d t.

CHAPITRE I. 43

Lorsque les deux molécules, dont l'une transmet directe- ment à l'autre une certaine quantité de chaleur , appartien- nent au même solide, l'expression exacte de la chaleur com- muniquée est celle que nous avons donnée dans l'article précédent : parce que les molécules étant extrêmement voi- sines , la différence des températures est extrêmement petite. Il n'en est pas de même lorsque la chaleur passe d'un corps solide dans un milieu aériforme. Mais les expériences nous apprennent que si la différence est une quantité assez petite, la chaleur transmise est sensiblement proportionnelle à cette différence, et que le nombre h peut, dans les premières re- cherches, être considéré comme ayant une valeur constante, propre à chaque état de la surface, mais indépendant de la température.

6i. Ces propositions relatives à la quantité de chaleur com- muniquée, ont été déduites de diverses observations. On voit d'abord , comme une conséquence évidente des expres- sions dont il s'agit, que si l'on augmentait d'une quantité commune toutes les températures initiales de la masse solide, et celle du milieu où elle est placée, les changements suc- cessifs des températures seraient exactement les mêmes que si l'on ne faisait point cette addition. Or ce résultat est sen- siblement conforme aux expériences ; il a été admis par les premiers physiciens qui ont observé les effets de la chaleur. • 62.

Si le milieu est entretenu à une température constante , et si le corps échauffé qui est placé dans ce milieu a des di- mensions assez petites pour que la température, en s'abais- sant de plus en plus , demeure sensiblement la même dans

^6.

44 THÉORIE DE LA CHALEUR.

tous ses points , il suit des mêmes propositions qu'il s'e'chap- pera à chaque instant, par la surface du corps, une quantité de chaleur proportionnelle à l'excès de sa température ac- tuelle sur celle du milieu. On en conclut facilement, comme on le verra dans la suite de cet ouvrage , que la ligne dont les abscisses représentei'aient les temps écoulés , et dont les ordonnées représenteraient les températures qui cori'espon- dent à ces temps, est une courbe logarithmique : or, les ob- servations fournissent aussi ce même résultat, lorsque l'ex- cès de la température du solide sur celle du milieu est une quantité assez petite.

63. Supposons que le milieu soit entretenu à la température constante o, et que les températures initiales des différents points a, h,c, à, etc. d'une même masse soient a, p, y, ^,etc. qu'à la fin du premier instant elles soient devenues a', fi', y', ^', etc. qu'à la fin du deuxième instant elles soient a', p", y", fï', etc. ainsi de suite. On peut facilement conclure des propositions énoncées, que si les températures initiales des mêmes points avaient été ^a, gp, gy, rZâ, etc. (g- étant un nombre quelconque), elles seraient devenues, en vertu de l'action des différents points à la fin du premier instant,^»', g'^'i g'i y g^\ etc., à la fin du second instant ga", g-p", g-{^ gè'\ etc , ainsi de suite. En effet, comparons l'es cas wi les températures initiales des points a, b , c , d étaient a, p , y, rî , avec celui où elles sont aa, ap, 2y, 2^, le milieu conservant, dans l'un et l'autre cas , la température o. Dans la seconde hypothèse , les différences des températures des deux points quelconques sont doujoles de ce qu'elles étaient dans la pre- mière, et l'excès de la temjjérature de chaque point, sur celle

CHAPITRE I. 45

de chaque molécule du milieu, est aussi double ; par consé- quent la quantité de chaleur qu'une molécule quelconque en- voie à une auti'e, ou celle qu'elle en reçoit, est, dans la seconde hypothèse, double de ce qu'elle était dans la pre- mière. Le changement que chaque point subit dans sa tempé- rature étant proportionnel à la quantité de chaleur acquise, il s'ensuit que, dans le second cas, ce changement est double de ce qu'il était dans le premier. Or, on a supposé que la température initiale du piemier point, qui était a, devient a' à la fin du premier instant; donc si cette température initiale eût été 2a, et si toutes les autres eussent été doubles, elle serait devenne 2 a'. Il en serait de même de toutes les autres molécules h , c , d, qX. l'on tirera une conséquence semblable, si le rapport, au lieu d'être 2, est un nombre quelconque^. Il résulte donc du principe de la communication de la cha- leur, que si l'on augmente ou si l'on diminue dans une raison donnée toutes les températures initiales, on augmente ou l'on diminue dans la même raison toutes les températures suc- cessives.

Ce résultat, comme les deux précédents , est confirmé par les observations. Il ne pourrait point avoir lieu si la quantité de chaleur qui passe d'une molécule à une autre n'était point, en effet, proportionnelle à la différence des températures.

On a observé avec des instruments précis , les températures permanentes des différents point d'une barre ou d'une armille métalliques , et la propagation de la chaleur dans ces mêmes corps et dans plusieurs autres solides de forme sphérique ou cubique. Les résultats de ces expériences s'accordent avec: ceux que l'on déduit des propositions précédentes. Ils se- raient entièrement différents , si la quantité de chaleur trans- mise par une molécule solide àiine autre, ou à une molécule

46 THÉORIE DE LA CHALEUR.

de l'air, n'était pas proportionnelle à l'excès de température. Il est d'abord nécessaire de connaître toutes les conséquences rigoureuses de cette proposition ; par-là on détermine la par- tie principale des quantités qui sont l'objet de la question. En comparant ensuite les valeurs calculées avec celles que donnent des expériences nombreuses et très-précises, on peut facilement mesurer les variations des coefficients , et perfec- tionner les premières recherches.

SECTION IV.

Du mouvement uniforme et linéaire de la chaleur.

65.

On considérera, en premier lieu, le mouvement uniforme de la chaleur dans le cas le plus simple, qui est celui d'un solide infini compris entre deux plans pai^allèles.

On suppose qu'un corps solide formé d'une substance ho- iuogène est compris entre deux plans infinis et parallèles ; le plan inférieur A est entretenu , par une cause quelconque , à luie température constante a ; on peut concevoir, par exemple, que la masse est prolongée, et que le plan A est une section commune au solide et à cette masse intérieure échauffée dans tous ses points par un foyer constant ; le plan supérieur B est aussi maintenu, par une cause semblable, à une tempé- rature fixe h , dont la valeur est moindre c[ue celle de a : il s'agit de déterminer quel serait le résultat de cette hypothèse si elle était continuée pendant un temps infini.

Si l'on suppose que la température initiale de toutes les parties de ce corps soit b, on voit que la chaleur qui sort du foyer A se propagera de plus en plus, et élèvera la tem- pérature des molécules comprises entre les deux plans ;

CHAPITRE 1. 4^

mais celle du plan supérieur ne pouvant, d'après l'hypo- thèse, être plus grande queZ», la chaleur se dissipera dans la masse plus froide dont le contact retient le plan B à la tem- pérature constante b. Le système des températures tendra de plus en plus à un état final qu'il ne pourra jamais atteindre, mais qui aurait, comme on va le prouver, la pro- priété de subsister lui-même et de se conserver sans aucun changement s'il était une fois formé.

Dans cet état final et fixe que nous considérons, la tem- pérature permanente d'un point du solide est éviilemment la même pour tous les points d'une même section parallèle à la base ; et nous allons démontrer que cette température fixe, qui est commune a tous les points d'une section inter- médiaire décroît en progression arithmétique depuis la base jusqu'au plan supérieur, c'est-à-dire, qu'en représentant les températures constantes a et b par les ordonnées A a et B (3, (J'^oy.fig. i), élevées perpendiculairement sur la distance AB des deux plans , les températures fixes des couches intermé- diaires seront représentées par les ordonnées de la droite AB, qui joint les extrémités a et p ; ainsi , en désignant par z la hauteur d'une section intermédiaire ou la distance perpendi- culaire au plan A, par e la hauteur totale ou la distance AB, et par <' la température de la section dont la hauteur est z,

on doit avoir l'équation v = a -\ — ^^^- z.

En effet , si les températures étaient établies d'abord sui- vant cette loi , et si les surfaces extrêmes A et B étaient tou- jours retenues aux températures a et b, il ne pourrait sur- venir aucun changement dans l'état du solide. Pour s'en con- vaincre, il suffira de comparer la quantité de chaleur qui

48 THÉORIE DE LA CHALEUR,

traverserait une section intermédiaire A' à celle qui , pen- dant le même temps , tiaverserait une autre section B'.

En se représentant que l'état final du solide est formé et subsistant, on voit que la partie de la masse qui est au-des- sous du plan A' doit communiquer de la chaleur à la partie qui est au-dessus de ce plan, puisque cette seconde partie est moins échauffée que la première.

Imaginons que deux points du solide m et m , extrême- ment voisins l'un de l'autre, et placés d'une manière c|uel- conque, l'un m au-dessous du plan A', et l'autre w' au-dessus de ce plan , exei'cent leur action pendant un instant infini- ment petit : le point le plus échauffé m communiquera à ni une certaine quantité de chaleur qui traversera ce plan A'. Soient or , y , z, les coordonnées rectangulaires du point ni, et x , y' , z , les coordonnées du point ni ; considérons encore deux points n et li extrêmement voisins l'un de l'autre, et placés, par rapport au plan B', de même que m et in sont placés par rapport au plan A': c'est-à-dire, qu'en désignant par (^ la distance perpendiculaire des deux sections A' et B', les coordonnées du point n seront x , y , z + X,^ et celles du point n seront x, y', z! + ^'^ les deux distances mni et un seront égales : de plus, la différence de la température v du point m à la température c' du point in sera la même que la différence des températures des deux points n et n. En effet, cette première différence se déterminera en substituant z et

ensuite z dans l'équation générale i' = a -\ z, et retran- chant la seconde équation de la première , on en conclura V — v'=^ [z — z). On trouvera ensuite, par les substitu-

CHAPITRE I. 49

tions de z + 'C et z + ^, que l'excès de la température du point

n sur celle du point /i a aussi pour expression — ~ [z — z).

11 suit de là que la quantité de chaleur envoyée par le point jn au point m' sera la même que la quantité de chaleur en- voyé par le point n au point 7i' , car tous les éléments qui concourent à déterminer cette quantité de chaleur transmise sont les mêmes.

Il est manifeste 'que l'on peut appliquer le même raisonne- ment à tous les systèmes de deux molécules qui se commu- niquent de la chaleur à travers la section A' ou la section B'; donc, si l'on pouvait recueillir toute la quantité de chaleur qui sécoule, pendant un même instant, à travers la section A' ou la section B ', on trouvei'ait que cette c|uantité est la même pour les deux sections.

Il en résulte c|ue la partie du solide comprise entre A' et B' reçoit toujours autant de chaleur cju'elle en perd, et comme cette conséquence s'ajiplique à une portion quelconque de la masse comprise entre deux sections parallèles, il est évident cju'aucune partie du solide ne peut acquérir une température plus élevée que celle c|u'elle a présentement. Ainsi , il est rigoureusement démontré que l'état du prisme subsistera continuellement tel qu'il était d'abord.

Donc, les températures permanentes des différentes sec- tions d'un solide compris entre les deux plans parallèles infi- nis, sont représentées par les ordonnées de la ligne droite

#r p, et satisfont à l'équation linéaire v = a -\ z.

GG. On voit distinctement, par ce qui précède, en quoi consiste ia propagation de la chaleur dans un solide compris entre

7

5o THÉORIE DE LA CHALEUR.

deux plans parallèles et infinis, dont chacun est maintenu a. une température constante. La chaleur pénètre successive- ment dans la masse à travers la base inférieure : les tempé- ratures des sections intermédiaires s'élèvent, et ne peuvent jamais surpasser ni même atteindre entièrement une certaine limite dont elles s'approchent de plus en plus : cette limite ou température finale est différente pour les différentes couches intermédiaires, et elle décroît, en progression arithmétique, depuis la température fixe du plan inférieur, jusqu'à la tem- pérature fixe du plan supérieur.

Les températures finales sont celles qu^'il faudrait donner au solide pour fjue son état fût permanent; l'état variable qui le précède peut être aussi soumis au calcul , comme on le verra par la suite ; mais nous ne considérons ici que le sys- tème des températures finales et permanentes. Dans ce der- nier état, il s'écoule, pendant chaque division du temps, à travers une section parallèle à la base ou une portion déter- minée de cette section , une certaine quantité de chaleur qui est constante, si les divisions du temps sont égales. Ce flux uniforme est le même pour toutes les sections intermédiaires; il est égal à celui cjui sort du foyer et à celui que perd, dans le même temps, la surface supérieure du solide en vertu de la cause cjui maintient la température.

Il s'agit maintenant de mesurer cette quantité de chaleur qui se propage uniformément dans le solide, pendant un temps donné, à travers une partie déterminée d'une section parallèle à la base: elle dépend, comme on va le voir, des deux températures extrêmes a et b, et de la distance e des deux bases; elle varierait, si l'un quelconque de ces éléments

CHAPITRE I. 5i

venait à changer, les autres demeurant les mêmes. Supposons un second solide, formé de la même substance que le pu-niier, et compris entre deux plans parallèles infinis, dont la distance perpendiculaire est è ; {J'oy.jig. 2) la base inférieure est entre- tenue à la température lixe a , et la base supérieure, à la température fixe V : l'un et l'autre solides sont considérés dans cet état final et permanent qui a la propriété de se con- server lui-même dès qu'il est formé. Ainsi la loi des tem- pératures est exprimée, pour le premier corps, par l'équation

v^^a-\ ^r-, et pour le second, par l'équation « = «' +

; — z, V étant dans le premier solide, et u dans le second, la

température de la section dont z est la hauteur.

Cela posé, on comparera la quantité de chaleur qui , pen- dant l'unité de temps, traverse une étendue égale à lunité de surface prise sur une section interniétliaire L du premier solide, à celle qui, pendant le même temps, traverse une égale étendue prise sur la section L' du second , s étant la hauteur commune de ces deux sections, c'est-à-dire, la dis- tance de chacune d'elles à la base inférieure. On considérera dans le premier corps deux points n et n extrêmement voi- sins, et dont l'un n est au-dessous du plan L, et l'autre lî au-dessus de ce plan : x,y,z, sont les coordonnées de n ; et 3c , y , z , les coordonnées de n , e étant moindre que i, et plus grand que z.

On considérera aussi dans le second solide l'action instan- tanée de deux points y^» etyw', qui sont placés, par rapport à la section L', de même que les points n et n par rapport à la section L du premier solide. Ainsi , les mêmes coordon-?

, ■ 7. ' -

53 THÉORIE DE LA CHALEUR.,

nées cc,y, z, et x, y , z , rapportées à trois axes rectangu- laires dans le second corps, fixeront aussi la position des points p et p'.

Or, la distance du point n au point n est égale à la dis- tance du point /j au point /V, et comme les deux corps sont formés de la même sulistance, on^n conclut, suivant le prin- cipe de la communication de la chaleur, que l'action de n sur n, ou la quantité de chaleur donnée par n à n, et l'acticHi de p suv p', ont entre elles le même rapport que les diffé- rences de températures t' — t'' et u — u'.

En substituant r, et ensuite t^' dans l'équation qui convient

au premier solide, et retranchant on trouve c — 1^'= ( j

(z — s'), on a aussi, au moyen de la seconde équation, u — u=(- — ? j (z — ;:'), donc le rapport des deux actions

dont il s'agit est celui de à —

e

On peut concevoir maintenant plusieurs autres systèmes de deux molécules dont la première envoie à la seconde à travers le plan L, une certaine quantité de chaleur, et chacun de ces systèmes, choisi dans le premier solide, pouvant être comparé à un système homologue placé dans le second, et dont l'action s'exerce à travers la section L', on appliquera encore le raisonnement précédent pour prouver que le rap- port des deux actions est toujours celui de à —^ —

Or, la quantité totale de chaleur qui, pendant un instant, traverse la section L, résulte de l'action simultanée d'une multitude de systèmes dont chacun est formé de deux points ; donc cette quantité de chaleur et celle qui , dans le

\

CHAPITRE I. 53

second solide, traverse pendant le même instant la section L' , ont aussi entre elles le rapport de ■ ^ à — 7— ^•

Il est donc facile de comparer entre elles l'intensité des flux constants de clialeur qui se propagent uniformément dans l'un et lautre solides, c'est-à-dire les quantités de cha- leur qui, pendant l'unité de temps, traversent l'unité de sur- face dans chacun de ces corps. Le rapport de ces deux inten- sités est celui des deux quotients et - — -, — Si les deux

J^ e e

quotients sont égaux, les flux sont les mêmes, quelles que soient d'ailleurs les valeurs a, h, e; a, U , ë ; en général, en désignant par F le premier flux , et par F' le second , on aura

F ■^a — h\ r„'—h'-\

m. Supposons que , dans le second solide , la température permanente a du plan inférieur soit celle de l'eau l)ouillantc I ; que la température h du plan supérieur soit celle de la glace fondante o ; que la distance ë des deux plans soit l'unité de mesure (un mètre) ; désignons par K le flux constant de chaleur qui, pendant l'unité de temps (une minute), traver- serait l'unité de surfoce dans ce dernier solide, s'il était formé d'une substance donnée ; K exprimant un certain nombre d'unités de clialeur, <;'est-à-dire un certain nombre de fois la chaleur nécessaire pour convertir en eau un kilogramme de glace : on aura, en général, pour déterminer le flux constant F, dans un solide formé de cette même substance, l'équation

F a — b „ a — b ^= OU i< :=k -•

La valeur de F est celle de la quantité de chaleur qui ,

/

54 THÉORIE DE LA CHALEUR.

pendant l'unité de temps, passe à travers une étendue égale à l'unité de surfiice prise sur une section parallèle à la base.. Ainsi l'état thermométricfue d'un solide compris entre deux bases parallèles infinies dont la distance perpendiculaire est e , et c|ui sont maintenues à des températures fixes a et b , est représenté par les deux équations:

i' = a-{ z, et F = K ou F = — K ^j—

e e dz

La première de ces équations exprime la loi suivant la- quelle les températures décroissent depuis la base inférieure jusqu'à la face opposée; la seconde fait connaître la quantité de chaleur qui traverse, pendant un temps donné, une par- tie déterminée d'une section parallèle à la base.

Nous avons choisi ce même coefficient K, c[ui entre dans la seconde équation, pour la mesure de la conducibilité spé- cifique de chaque substance; ce nombre a des valeurs très- différentes pour les différents corps.

Il représente, en général, la quantité de chaleur qui , dans un solide homogène formé d'une substance donnée, et com- pris entre deux plans parallèles infinis, s'écoule, pendant une minute, à travers une surface d'un mètre qaarré prise sur une section parallèle aux plans extrêmes , en supposant que ces deux plans sont entretenus, l'un à la température de l'eau bouillante, fautre à la température de la glace fondante, et que tous les plans intermédiaires ont acquis et conservent une température permanente.

On pourrait employer une autre définition de la conduci- bilité, comme on pourrait estimer la capacité de chaleur en la rapportant à l'unité de volume, au lieu de la rapporter à

CHAPITRE I. 55

runitë de masse. Toutes ces définitions sont équivalentes, ])ourvu qu'elles soient claires et précises.

Nous ferons connaître par la suite comment on peut déter- miner par l'observation la valeur K de la conducibilité ou conductibilité dans les différentes substances.

Pour établir les équations que nous avons rapportées dans l'article 68^ il ne serait pas nécessaire de supposer que les points qui exercent leur action à travers les plans , sont extrêmement peu distants. Les conséquences seraient encore les mêmes si les distances de ces points avaient une grandeur quelconque ; elles s'appliqueraient donc aussi au cas où l'action immédiate de la chaleur se porterait dans l'intérieur de la masse jusqu'à des distances assez considé- rables, toutes les circonstances qui constituent Ihypothèse demeurant d'ailleurs les mêmes.

Il faut seulement supposer que la cause qui entretient les températures à la superficie du solide n'affecte pas seulement la partie de la masse, qui est extrêmement voisine de la surface, mais que son action s'étend jusqu'à une profondeur

finie. L'équation i' = û — ("\ j :; repr-ésentera encore dans

ce cas les températures permanentes du solide. Le vrai sens de cette proposition est que, si l'on donnait à tous les points de la masse, les températures exprimées par l'équation, et si de plus une cause quelconque , agissant sur les deux tranches extrêmes, retenait toujours chacune de leurs molécules à la température que cette même équation leur assigne, les points intérieurs du solide conserveraient, sans aucun changement, leur état initial.

56 THÉORIE DE LA CHALEUR.

Si l'on supposait que l'action d'un point de la masse pût s'e'ten die jusqu'à une distance finies, il faudrait que l'épais- seur des tranches extrêmes, dont l'état est maintenu par la cause extérieure, fût au moins égale à e. Mais la quantité e n'ayant en effet, dans l'état naturel des solides, qu'une valeur inappréciable, on doit foire abstraction de cette épais- seur ; et iLsuffit que la cause extérieure agisse sur chacune des deux couches, extrêmement petites, qui terminent le solide. C'est toujours ce que l'on doit entendre par cette expression, entretenir la température constante de la surface.

V- Nous allons encore examiner le cas où le même solide

serait exposé, par l'une de ses faces, à l'air atmosphérique

entretenu à une température constante.

Supposons donc que ce plan inférieur conserve, en vertu d'une cause extérieure quelconc|ue, la température fixe a, et que le plan supérieur, au lieu d'être retenu, comme précé- demment, à une température moindre b, est exposé à l'air atmosphérique maintenu à cette température b , la distancé perpendiculaire des deux plans étant toujours désignée par e : il s'agit de déterminer les températures finales.

En supposant que, dans l'état initial du solide, la tempé- rature commune de ses molécules est b ou moindre que b, on se représente facilement que la chaleur qui sort inces- samment du foyer A pénètre la masse, et élève de plus en plus les températures des sections intermédiaires; la surface supérieure s'échauffe successivement, et elle laisse échapper dans l'air une partie de la chaleur qui a pénétré le solide. Le système des températures s'approche continuellement d'un dernier état qui subsisterait de lui-même s'il était d'abord

CHAPITRE I. 57

formé ; dans cet état final , qui est celui que nous considérons , la température du plan B a une valeur fixe, mais inconnue, que nous désignerons par p, et comme le plan inférieur A conserve aussi une températui'c permanente a , le système des températures est représenté par l'équation générale

v=^a + !— ; — '.-. , V désignant toujours la température fixe de

la section dont la hauteur est z. La quantité de chaleur qui s'écoule pendant l'unité de temps , à travers une surfiice égale à |kinité et prise sur une section quelconque, est

A- — — ^, k désignant la conducibilité propre.

Il faut considérer maintenant que la surface supérieure B, dont la température est p, laisse échapper dans fair une certaine quantité de chaleur qui doit être précisément égale à celle qui traverse une section quelconque L du solide. S'il n'en était pas ainsi, la partie de la masse qui est comprise entre cette section L et le plan B ne recevrait point une quantité de chaleur égale à celle qu'elle pei'd ; donc elle ne conserverait point son état , ce qui est contre l'hypothèse ; donc le flux constant de la surface est égal à celui qui tra- verse le solide: or, la quantité de chaleur qui sort, pendant l'unité de temps, de l'unité de surface prise sur le plan B, est exprimée par h (jî — h); b étant la température fixe de l'air, et h la mesure de la conducibilité de la surfoce B, on

doit donc former l'équation k "^^~ :=: h ( |î — Z» ) , qui fera connaître la valeur de [B. ., .,,

On en déduit a — ?'=-^j^~j^, équation dont le second

8

5S THÉORIE DE LA CHALEUR.

membre est connu ; car les tempe'ratures aetb sont données ainsi que les quantités h, k , e.

En mettant cette valeur de ^ — (3 dans 1 équation géne'rale

t^ = «+ ^ " s , on aura, pour exprimer les tempe'ratures

de toutes les sections du solide, l'équation a — v= t , t.-

dans laquelle il n'entre que des quantités connues et les variables cox-respondantes v et z.

72- m

Nous avons déterminé jusqu'ici l'état final et permanent des températures dans un solide comptais entre deux surfaces planes , infinies et parallèles , entretenues à des températures inégales. Ce premier cas est , à proprement parler , celui de la propagation linéaire et uniforme , car il n'y a point de transport de chaleur dans le plan parallèle aux bases; celle qui traverse le solide s'écovile uniformément, puisque la valeur du flux est la même pour tous les instants et pour toutes les sections.

Nous allons rappeler les trois propositions principales qui résultent de l'examen de cette question; elles sont suscep- tibles d'un grand nombre d'applications, et forment les pre- miers éléments de notre théorie.

1° Si l'on élève aux deux extrémités de la hauteur e du solide deux perpendiculaires qui représentent les tempéra- tures a çX. h des deux bases, et si l'on mène une droite qui joigne les extrémités de ces deux premières ordonnées, toutes les températures intermédiaires seront proportionnelles aux ordonnées de cette droite; elles sont exprimées par l'équa-

CHAPITRE T. 59

tion générale a — <' = (- )"> '•' désignant la température

de la section dont la hauteur est z.

1° La quantité de chaleur qui s'écoule uniformément, pendant l'unité de temps, à travers l'unité de surface prise sur une section cpielconque parallèle aux bases , est , toutes choses d'ailleurs égales , en raison directe de la différence a — h des températures extrêmes et en raison inverse de la distance c qui sépare ces bases. Cette quantité

de chaleur est exprimée par K . ( — — j , ou — K . -j- , en déduisant de l'équation générale la valeur de -r^ qui est

constante; ce flux uniforme est toujours représenté pour une substance donnée, et dans le solide dont il s'agit, par la tangente de l'angle compris entre la perpendiculaire e et la droite dont les ordonnées représentent les températures.

3° Si l'une des surfaces extrêmes du solide étant toujours assujétie à la température a, l'autre plan est exposé à l'air maintenu à une température fixe h ; ce plan en contact avec l'air, acquiert, comme dans le cas précédent, une tempéra- ture fixe p, plus grande que h, et il laisse échapper dans l'air, à travers l'unité de surface, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur exprimée par A ( (3 — h^^h désignant la conducibilité extérieure du plan.

Ce même flux de chaleur h (fi — Z») est égal à celui qui traverse le prisme et dont la valeur est K [a. — [i), on a donc

l'équation h (p — Z')::=K . ?~^-, qui donne la valeur de p.

8.

6o THEORIE DE LA CHALEUR.

SECTION V.

liOi des températures permanentes dans un prisme d'une

petite épaisseur.

On appliquera facilement les principes qui viennent d'être exposés à la question suivante, qui est très-simple en elle- même , mais dont il importait de fonder la solution sur une théorie exacte.

Une barre métallique, dont la forme est celle d'un parallé- lipipède rectangle d'une longueur infinie, est exposée à l'ac- tion d'un foyer de chaleur qui donne à tous les points de son extrémité A une température constante. Il s'agit de déter- miner les températuies fixes des différentes sections de la barre.

On suppose que la section perpendiculaire à l'axe est un quarré dont le côté 2 / est assez petit pour que l'on puisse sans erreur sensible regarder comme égales les températures des différents points d'une même section. L'air dans lequel la barre est placée est entretenu à une température constante o, et emporté par un courant d'une vitesse uniforme.

La chaleur passera successivement dans l'intérieur du so- lide, toutes ses parties situées à la droite du foyer, et qui n'étaient point exposées immédiatement à son action, s'échauf- feront de plus en plus, mais la température de chaque point ne pourra pas augmenter au-delà d'un certain terme. Ce maximum de température n'est pas le même pour chaque section ; il est en général d'autant moindre que cette section

CHAPITTxE I. 6i

est plus éloignée de l'origine; on désignera par i' la tempé- rature fixe dune seetion perpendiculaire à l'axe , et placée à la distance .r de l'origine A.

Avant que chaque point du solide ait atteint son plus haut degré de chaleur, le système des températures varie continuellement, et s'approche de plus en plus d'un état fixe, qui est celui que l'on considère. Cet état final se conserverait de lui-même, s'il était formé. Pour que le système des tem- pératures soit permanent, il est nécessaire c]ue la quantité de chaleur qui traverse, pendant l'unité de temps, une section placée à la distance r de l'origine, compense exactement toute la chaleur qui s'échappe, dans le même temps, par la partie de la surface extérieure du prisme qui est située à la droite de la même section. La tranche, dont l'épaisseur est dœ, et dont la surface extérieure est 8 Idx, laisse échapper dans l'air, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur exprimée par 8 hlvdx, h étant la mesure de la conducibilité extérieure du prisme. Donc, en prenant Fintégi'aleyS li.U' dx

depuis .r:^o jusqu'à a'= - , on trouvera la quantité de cha- leur qui sort de toute la surface de la barre pendant l'unité de temps; et si l'on prend la même intégrale, depuis x=o jusqu'à x^x ^ on aura la quantité de chaleur perdue par la partie de la surface comprise entre le foyer et la section placée à la distance x. Désignant par C la première intégrale dont la valeur est constante, et \iiXY fèhh-dx la valeur variable de la seconde; la différence C — f^lilvdx expri- mera la quantité totale de chaleur qui s'échappe dans lair, à travers la partie de la surface placée à la droite de la sec- tion. D'un autre côté, la tranche du solide, comprise entre

62 THÉORIE DE LA CHALEUR.

deux sections infiniment voisines placées aux distances x et x-hdx, doit être assimilée à un solide infini, terminé par deux plans parallèles, assujétis à des températures fixes c et u-\^di>^ puisque, selon l'hypothèse, la température ne varie pas dans toute l'étendue d'une même section. L'épaisseur du sohde est dx, et l'étendue de la section est 4^' '• Jonc, la quantité de chaleur qui s'écoule uniformément, pendant l'unité de temps , à ti-avers une section de ce solide , est ,

d'après les principes précédents, — /^l'k^^, k étant la con-

ducibilité spécifique intérieure; on doit donc avoir l'équation

■^T' k . -7-!^ = C — f^hlvdx, o\xkl^-^=^h

V,

74- On obtiendrait le même résultat, en considérant l'équilibre de la chaleur dans la seule tranche infiniment petite, com- prise entre les deux sections dont les distances sont x et X + dx. En effet, la quantité de chaleur c[ui, pendant l'unité de temps , traverse la première section placée à la distance

a?, est — [\V k~. Pour trouver celle cjui s'écoule pendant le

même temps, à travers la section suivante placée à la dis- tance X + dx , il faut, dans l'expression précédente, changer

X en X + dx, ce cjui donue — 4 ^' ^' ( j — \- di -j- j j- Si l'on

retranche cette seconde expression de la première , on con- naîtra combien la tranche que terminent les deux sections, acquiert de chaleur pendant l'unité de temps; et puiscpe l'état de cette tranche est permanent, il faudra que toute cette chaleur acquise soit égale à celle cjui se dissipe dans l'air à travers la surface extérieure èldx de cette même

CHAPITRE I. 63

tranche; or, cette dernière quantité de chaleur est ^hlvdx; on obtiendra donc la même équation

B) h l V d X =■ lil\ k d ( -1^] o\i'^-tA=-tt'>'-

De quelque manière que l'on forme cette équation, il est nécessaire de remarquer que la quantité de chaleur qui pénètre dans la tranche dont l'épaisseur est dx , a une valeur

finie , et que son expression exacte est — 4 ^ ' • ^ t" Cette

tranche étant comprise entre deux surfaces , dont la première a la température v , et la seconde une température moindre 0) , on aperçoit d'abord que la quantité de chaleur cju'elle reçoit par la première surface dépend de la différence v — v, et lui est proportionnelle; mais cette remarque ne suffit pas pour établir le calcul. La quantité dont il s'agit n'est point une différentielle : elle a une valeur finie, puisqu'elle équivaut à toute la chaleur cjui sort par la partie de la surface exté- rieure du prisme qui est située à la droite de la section. Pour s'en former une idée exacte, il faut comparer la tranche, dont l'épaisseur est dx , à un solide terminé par deux plans parallèles dont la distance est e, et c]ui sont retenus à des températures inégales a et b. La quantité de chaleur qui pénètre dans un pareil prisme, à travers la surfoce la plus échauffée, est en effet proportionnelle à la différence a — b des températures extrêmes , mais elle ne dépend pas seule- ment de cette différence: toutes choses d'ailleurs égales, elle est d'autant moindre que le prisme a plus d'épaisseur, et en

général elle est proportionnelle à C'est pourquoi la

quantité de chaleur qui pénètre par la première surface dans

64 THÉORIE DE LA CHALEUR.

la tranche, dont l'épaisseur est ri' .r, est proportionnelle à

d X

Nous insistons sur cette l'emarque parce que l'omission cjue l'on en avait faite a été' le premier obstacle à l'éta- blissement de la théorie. En ne faisant point une analyse complète des éléments de la question, on obtenait une équa- tion non homogène, et, à plus forte raison , on n'aurait pu former les équations qui expriment le mouvement de la cha- leur dans des cas plus composés.

Il était nécessaire aussi d'introduire dans le calcul les dimensions du prisme, afin de ne point regarder comme générales les conséquences que l'observation avait fournies dans un cas particulier. Ainsi l'on a reconnu par l'expérience cju'uné barre de fer, dont on échauffait l'extrémité, ne pou- vait acquérir, à six pieds de distance du foyer, une tempéra- ture d'un degré (octogésimal) ; car, pour produire cet effet, il faudrait que la chaleur du foyer surpassât beaucoup celle qui met le fer en fusion ; mais ce résultat dépend de l'épais- seur du prisme que l'on a employé. Si elle eût été plus grande, la chaleur se serait propagée à une plus grande distance, c'est-à-dire, cjue le point de la barre qui acquiert une température fixe d'un degré, est d'autant plus éloigné du foyer que la barre a plus d'épaisseur, toutes les autres conditions demeurant les mêmes. On peut toujours élever d'an degré la température de l'extrémité d'un cylindre de fer, en échauffant ce solide par son autre extrémité; il ne faut que donner au rayon de la base une longueur suffisante ; cela est, pour ainsi dire, évident, et d'ailleurs on en trouvera la pieuve dans la solution de la question (art. 78).

CHAPITRE I. 65

76. L'intégrale de l'e'quatioii précédente est

V=Ae '+Be * "' A et B étant deux con-

tantes arbitraires; or, si l'on suppose la distance a^ infinie, la valeur de la température v doit être infiniment petite ;

donc le terme B e '^ ' ne subsiste point dans l'intégrale;

ainsi l'équation v = Ae représente l'état permanent

du solide; la température à l'origine est désignée par la con- stante A , puisqu'elle est la valeur de v lorsque x est nulle.

Cette même loi suivant laquelle les températures décrois- sent, est donnée aussi par l'expérience; plusieurs physiciens ont observé les températures fixes des dit'térents points d'une barre métallicjue exposée par son extrémité à l'action constante d'un foyer de chaleur, et ils ont reconnu que les distances à l'origine représentent les logarithmes, et les tem- pératures les nombres con-espondants.

77.

La valeur numérique du quotient constant de deux tem- pératures consécutives étant déterminée par l'observation ,

on en déduit facilement celle du rapport j : car, en dési- gnant par a», , v, , les températures qui répondent aux dis- tances a:,, a',, on auiM • -

( -r ^ ]\y^'' 1/** lo£f. 7', — lo$r. 7', /T

V, _ l-^' ^'JV^Tî i^T=-^ ■ ^ — -V l

^ — — ^ OU x,—x, V

Quant aux valeurs séparées de h et de h , on ne peut les déterminer par des expériences de ce genre : il faut observer aussi le mouvement varié de la chaleur.

9

66 THEORIE DE LA CHALEUR. .

78- Supposons que deux barres de même matière et de dimen- sions inégales, soient assujëties vers leur extrémité à une même température A, soit /, le côté de la section dans la première barre, et /, le côté de la section dans la seconde, on aura, pour exprimer les températures de ces deux so- lides , les équations

v, = ke '''• et 'y, = A e '''' '

en désignant, dans le premier solide, par v, la température de la section placée à la distance x, , et dans le second solide , par a»-, la température de la section placée à la distance x^.

Lorsque ces deux barres seront parvenues à un état fixe , la température d'une section de la première, placée à une certaine distance du foyer, ne sera pas égale à la tempéra- ture d'une section de la seconde, placée à la même distance du foyer; pour que les températures fixes fussent égales^ 1

il faudrait que les distances lussent différentes. Si l'on veut 1

comparer entre elles les distances x^ et x^ comprises depuis l'origine jusqu'aux points qui parviennent dans les deux barres à la même température , on égalera les seconds

x" l

membres des équations, et l'on en conclura -| = y-. Ainsi

X ^ 'a

les distances dont il s'agit sont entre elles comme les racines quarrées des épaisseurs.

79- Si deux barres métalliques de dimensions égales, mais

formées de substances différentes sont couvertes d'un même

enduit qui puisse leur donner une même conducibilité exté-

CHAPITRE I. %

rieure, et si elles sont assujeties, dans lenr extrémité', à une même tempëratui'e, la chaleur se propagera plus facilement et à une plus grande distance de l'origine dans celui des deux corps qui jouit d'une plus grande conducibilité. Pour com- parer entre elles les distances .r. et x, , comprises depuis l'origine commune juscjuaux points qui acquièrent une même températui'e fixe, il faut, en désignant par /i\ et Ii\ les conducibilités respectives des deux substances, écrire l'équation -

ou -. — /.

Ainsi le rapport de deux conducibilités est celui des quarrés des distances comprises entre l'origine commune et les points qui atteignent luie même température fixe.

80. Il est facile de connaître combien il s'écoule de chaleur pendant l'unité de temps par une section de la barre par- venue à son état fixe : cette quantité a pour expression

_ 4 A- /' ^ ou 4 A y/âTÂT^e - ^ l^!4 ,

et si on la prend à l'origine, on aura 4 A y/ a k h l\ pour

la mesure de la quantité de chaleur qui passe du foyer dans . le solide pendant l'unité de temps ; ainsi la dépense de la source de chaleur est, toutes choses d'ailleurs égales, pro- portionnelle à la racine cjuarrée du cube de Tépaisseur. Ou trouverait le même résultat, en prenant l'intégrale y 8 A Ivdx depuis X nulle jusqu'à x infinie.

es THÉORIE DE LA CHALEUR.

SECTION VL

De V Échauffement des espaces clos.

8r. Nous ferons encore usage des théorèmes de l'article 72 dans la question suivante, dont la solution présente des ap- plications utiles; elle consiste à déterminer le degré dechauf- fement des espaces clos.

On suppose cpi'un espace d'une forme quelconque, rempli d'air atmosphérique, est fermé de toutes parts, et que toutes les parties de l'enceinte sont homogènes et ont une épais- seur commune e, assez petite pour que le rapport de la surface extérieure à la surface intérieure diffère peu de l'u- nité. L'espace que cette enceinte termine est échauffé par un foyer dont l'action est constante; par exemple, au moyen d'une surface dont l'étendue est c, et qui est entretenue à la température permanente a.

On ne considère ici que la température moyenne de l'air contenu dans l'espace , sans avoir égard à l'inégale distribu- tion de la chaleur dans cette masse d'air ; ainsi l'on suppose que des causes subsistantes en mêlent incessamment toutes les portions, et rendent leur température uniforme.

On voit d'abord que la chaleur qui sort continuellement du foyer se répandra dans l'air environnant, et pénétrera dans la masse dont l'enceinte est formée, se dissipera en partie par la surface, et passera dans l'air extérieur que l'on suppose entretenu à une température moins élevée et per- manente n. L'air intérieur s'échauffera de plus en plus; il en sera de même de l'enceinte solide : le système des tempéra-

CHAPITRE 1. 69

tures s'approchera sans cesse d'un dernier état qui est l'objet de la question, et qui aurait la propriété de subsister de lui- même et de se conserver sans aucun changement, pourvu que la surface du foyer c fût maintenue à la température a, et l'air extérieur à la température n.

Dans cet état permanent que l'on veut déterminer, l'air intérieur conserve une température fixe 711 : la température de la surface intérieure s de l'enceinte solide a aussi une va- leur fixe a; enfin la surface extérieure s, qui termine cette enceinte, conserve une température h moindre que a , mais plus grande que n. Les quantités cr, a, ^, e et « sont connues, et les quantités m, a et h sont inconnues.

C'est dans l'excès de la température m sur celle de lair extérieur n que consiste le degré de réchauffement; il dépend évidemment de l'étendue a de la surface échauffante et de sa température a; il dépend aussi de l'épaisseur e de l'en- ceinte, de l'étendue s de la surface qui la termine, de la facilité avec laquelle la chaleur pénètre sa surface intérieure ou celle qui lui est opposée; enfin de la conducibilité spé- cifique de la masse solide qui forme l'enceinte ; car si l'un quelconque de ces éléments venait à être changé, les autres demeurant les mêmes, le degré de réchauffement varierait aussi. Il s'agit de déterminer comment toutes ces quantités entrent dans la valeur de m — n,

82.

L'enceinte solide est terminée par deux surfaces égales, dont chacune est maintenue à une température fixe; chaque élément prismatique du solide compris entre deux portions opposées de ces surfaces , et les normales élevées sur le contour des bases, est donc dans le même étal que s'il ap-

70 THEORIE DE LA CHALEUR.

partenait à un solide infini compris enti'e deux plans paral- lèles, entretenus à des températures inégales. Tous les élé- ments prismatiques qui composent l'enceinte se touchent suivant toute leur longueur. Les points de la masse qui sont à égale distance de la surface intérieure ont des tempé- ratures égales, a quelque prisme cju'ils appartiennent; par conséquent , il ne peut y avoir aucun transport de chaleur dans le sens perpendiculaii'e à la longueur des prismes. Ce cas est donc le même que celui que nous avons déjà traité, et l'on doit y appliquer les équations linéaires qui ont été rapportées plus haut.

83.

Ainsi, dans l'état permanent que nous considérons, le flux de chaleur qui sort de la surface n pendant une unité de temps, est égal à celui qui passe, pendant le même temps, de l'air environnant dans la surface intérieure de l'enceinte ; il est égal aussi à celui qui traverse, pendant l'unité de temps, une section intermédiaire faite dans l'enceinte solide par une surface égale et parallèle à celles qui terminent cette eh- ceinte ; enfin , ce même flux est encore égal à celui qui passe de l'enceinte solide à travers sa surface extérieure, et se dissipe dans l'air. Si ces quatre quantités de chaleur écoulées n'étaient point égales, il surviendrait nécessairement quelque variation dans l'état des températures, ce qui est contre l'hypothèse.

La première quantité est exprimée par c (a — m) g , en désignant par g la conducibilité extérieure de la surface a qui appartient au foyer.

La seconde est s [m — a) h, le coefficient h étant la

CHAPITRE I. ni

mesure de la conducibilité extérieure de la surfoce s , qui est exposée à l'action du foyer.

La troisième est s - — ; — - K, le coefficient K étant la me- sure de la conducibilité propre de la substance homogène qui forme l'enceinte.

La quatrième est s (b — n) H , en désignant par H la conducibilité extérieure de la surface s dont la chaleur sort pour se dissiper dans l'air. Les coëfficiens h et H peuvent avoir des valeurs très-inégales à raison de la différence de l'état des deux surfaces qui terminent l'enceinte ; ils sont supposés connus ainsi que le coefficient K : on aura donc, pour déterminer les trois quantités inconnues t?? , a et b, les trois équations :

COL — 7fi g=s /H — ah '

c a. — ?il ..«• = ■$' K.

e

b

<r a

/H g:^S b 11. H.

84.

La valeur de m est l'objet spécial de la question. On la trouvera en mettant les équations sous cette forme :

m

-"=f-f («-"0

a — b=-^{a. — m) et les ajoutant T on aura

r-

THEORIE DE LA CHALEUR.

m — n = oL — ni P, en désignant par P la quantité connue

^r^ + £f + s\

s\,h^ k ^ rJ

on en conclut

P

f7l

— « = fa — II) —

(--)i(f-f^S)

^-K!"^

85.

Ce résultat fait connaître comment le degré de réchauffe- ment 711 — n dépend des quantités données qui constituent l'hypothèse.

Nous indiquerons les principales conséquences que l'on en peut déduire.

1° Le degré de réchauffement m — n est en raison directe de l'excès de la température du foyer sur celle de l'air exté- rieur.

2" La valeur de m — ii ne dépend point de la forme de

l'enceinte ni de sa capacité , mais seulement du rapport — de

la surface dont la chaleur sort à la surface qui la reçoit, et de l'épaisseur e de l'enceinte.

Si l'on double la surface a du foyer, le degré de réchauf- fement ne devient pas double, mais il augmente suivant une certaine loi que l'équation exprime.

3*^ Tous les coëfficiens spécifiques qui règlent l'action de la chaleur, savoir: g, K, H et h, composent, avec la di- mension e, dans la valeur de m — n, un élément unique

f + C^ "^ H ' ^^^^^ *^" P^^^ déterminer la valeur par les ob- servations.

CHAPITRE I. y3

Si l'on doublait 1 épaisseur e de l'enceinte, on aurait le même résultat que si l'on employait, pour la former, une substance dont la conducibilité propre serait deux fois plus grande. Ainsi l'emploi des substances qui conduisent diffi- cilement la chaleur permet de donner peu d'épaisseur à l'en- ceinte; l'effet que l'on obtient ne dépend que du rapport „•

4° Si la conducibilité K est nulle , on trouve m — n ^ a ; c'est-à-dire que l'air intérieur prend la température du foyer : il en est de même si H est nulle ou si h est nulle. Ces conséquences sont d'ailleurs évidentes, puisque la cha- leur ne peut alors se dissiper dans 1 air extérieur.

5" Les valeurs des quantités g, H, h, K et a, que l'on suppose connues , peuvent être mesurées par des expé- riences directes, comme on le verra par la suite; mais, dans la question actuelle , il suffirait d'observer la valeur de m — n cjui correspond à des valeurs données de g et de a, et on s'en servirait pour déterminer le coefficient total

(a — 11) ~ p

'I + ^ + ^ , au moyen de l'équation m — ii= —

i + - p

s i

dans laquelle p désigne le coefficient cherché. On mettra

dans cette équation, au lieu de - et de a — 7i , les valeurs

de ces quantités, que l'on suppose données, et celle de m — n, que l'observation aura fait connaître. On en déduira la valeur de p , et l'on pourra ensuite appliquer la formule à une infinité d'autres cas.

6° Le coefficient H entre dans la valeur de m — n de la même manière que le coefficient h ; par conséquent l'état de

lO

;4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

la superficie, ou celui de l'enveloppe qui la couvre, procure le même effet, soit qu'il se rapporte à la surface intérieure ou à la surface extérieure.

On aurait regardé comme inutile de fiùre remarquer ces diverses conséquences, si l'on ne traitait point ici des cjues- tions toutes nouvelles , dont les résultats peuvent être d'une utilité immédiate.

86. On sait que les corps animés conservent une température sensiblement fixe, que l'on peut regarder comme indépen- dante de la température du milieu dans lequel ils vivent. Ces corps sont, en quelque sorte, des foyers d'une chaleur constante , de même que les substances enflammées dont la combustion est devenue uniforme. On peut donc, à faide des remarques précédentes, prévoir et régler avec plus d'exactitude félévation des températures dans les lieux où l'on réunit un grand nombre d'hommes. Si l'on y observe la hauteur du thermomètre dans des circonstances données, on déterminera d'avance quelle serait cette hauteur , si le nombre d'hommes rassemblés dans le même espace deve- nait beaucoup plus grand.

A la vérité , il y a plusieurs circonstances accessoires qui modifient les résultats , telles que linégale épaisseur des parties des enceintes , la diversité de leur exposition , l'effet que produisent les issues, l'inégale distribution de la chaleur de l'air. On ne peut donc faire une application rigoureuse des règles données par le calcul ; toutefois, ces règles sont précieuses en elles-mêmes , parce qu'elles contiennent les vrais principes de la matière : elles préviennent des raison- nements vagues et des tentatives inutiles ou confuses.

CHAPITRE I. 75

87.

Si le même espace e'tait e'chauffé par deux ou plusieurs foyers de différente espèce, ou si la première enceinte était elle-même contenue dans une seconde enceinte sépare'e de la première par une masse d'air, on déterminerait facile- ment aussi le degré de réchauffement et les températures des surfaces.

En supposant qu'il y ait, outre le premier foyer ç, une seconde surface échauffée 77 dont la température constante soit (3 , et la conducibilité extérieure j , on trouvera , en conservant toutes les autres dénominations, l'équation sxii- vante :

g , p "> / ^ f '' , I . I ^

m-

■+(¥+¥) (i + i + j) .

si Ton ne suppose qu'un seul foyer a, et si la première en- ceinte est elle-même contenue dans une seconde, on repré- sentera par S', h', li'. H', les éléments de la seconde enceinte qui correspondent à ceux delà première, que l'on désigne par S. h. k. H, et Ton trouvera, en nommant p la tempé- rature de l'air qui environne la surface extérieure de la seconde enceinte, l'équation suivante :

7. — ,l.P

' I +P

La quantité P représente

^\h^ K ^ Hy* ^ S' \K ^ k' ^ H'

On trouvei\ait un résultat semblable si. l'on supposait trois ou un plus grand nombre d'enceintes successives; et l'on en

10.

^6 THEORIE DE LA CHALEUR.

conclut que ces enveloppes solides, sépare'es par l'air, con- courent beaucoup à augmenter le degré de réchauffement, cpelque petite que soit leur épaisseur.

88.

Pour rendi'e cette remarque plus sensible, nous compare- rons la quantité de chaleur qui sort de la surface d'un corps échauffé, à celle que le même corps perdrait, si la surface qui l'enveloppe en était séparée par un intervalle rempli d'air.

Si le corps A est échauffé par une cause constante, en sorte que la surface conserve la température fixe b , l'air étant retenu à la température moindre a, la quantité de chaleur qui s'échappe dans l'air pendant l'unité de temps, à travers une surface égale à l'unité , sera exprimée par h (b — rt), h étant la mesure de la conducibilité extérieure. Donc, pour que la masse puisse conserver la température iixe b, il est nécessaire que le foyer, quel qu'il soit, fournisse une quantité de chaleur égale à h S (b — «)i S désignant l'étendue de la surface du solide.

Supposons que l'on détache de la masse A une tranche extrêmement mince qui soit séparée du solide par un inter- valle rempli d'air, et que la superficie de ce même solide A, soit encore maintenue à la température b. On voit que l'air contenu entre la tranche et le corps s'échauffera et prendia une température a plus grande que a. La tranche elle-même parviendra à un état permanent et transmettra à l'air exté- rieur dont la température fixe est a toute la chaleur que le corps perd. Il s'ensuit que la quantité de chaleur sortie du solide sera h S (b — a), au lieu d'être h S (b — «), car on suppose que la nouvelle superficie du solide et celles qui

CHAPITRE I. ^yy

terminent la tranche ont aussi la même conducibilité exté- rieure II. 11 est e'vident que la dépense de la source de cha- leur seia moindre qu'elle n'était d'abord. Il s'agit de con- naître le rapport exact de ces Cjuantites.

89.

Soient e l'épaisseur de la tranche, m la température fixe

de sa surface inférieure, n celle de la surface supérieure et

K la conducibilité propre. On aura, pour l'expression de la

quantité de chaleur qui sort du solide par sa superficie,

Pour celle de la quantité qui pénètre la surface inférieure de la tranche h S i^a — m').

Pour celle de la quantité qui traverse une section quel-

T' O ("' '0 1 ^ 1

conque W h ^ de cette nieme tranche.

Enfin, pour celle de la quantité qui passe de la surface supérieure dans l'air h S [n — a).

Toutes ces cjuantités doivent être égales, on a donc les équations suivantes :

h [il — a)=^-[in — /?) •■ ■ '■ .

h (ji — a):=h(a — 7)i) h [n — a) = h(^b — à)

Si l'on écrit de plus l'équation identique h {n — a) = h {n — a), et si on les met toutes sous cette forme :

n — a)

n —	a —	n —	-a
m —	-» =	l,e ' K	(«
a! —	-711 =	-n-	-a
h	a!	n —	-a

yS THEORIE DE LA CHALEUR,

on trouvera, en les ajoutant,

b — a = (7i — a)(3+ -jv-j-

La quantité de chaleur perdue par le solide était.... h S (b — a) lorsque sa superficie communiquait librement à l'air, elle est maintenant h S {b — a) ou h S {n — a) qui équi-

l> — a

vaut à A s Q à e 3 + X

La première quantité est plus grande que la seconde , dans

1 .10 k e r

le rapport de a + -j^- a i.

Il faut donc, pour entretenir à la température b le solide dont la superficie communique immédiatement à l'air, plus de trois fois autant de chaleur qu'il n'en faudrait pour le maintenir à la même température b, lorsque l'exticme sur- face n'est pas adhérente, mais distante du solide d'un inter- valle quelconque rempli d'air.

Si l'on suppose que l'épaisseur e est infiniment petite, le rapport des quantités de chaleur perdues sera 3, ce qui au- rait encore lieu si la conducibilité K était infiniment grande.

On se rend facilement raison de ce résultat , car la chaleur ne pouvant s'échapper dans l'air extérieur, sans pénétrer plusieurs surfaces, la quantité qui s'en écoule doit être d'au- tant moindre que le nombre des surfaces intei'posées est plus grand; mais on n'aurait pu porter, à cet égard, aucun jugement exact si Ton n'eut point soumis la question au calcul.

90.

On n'a point considéré, dans l'article précédent, l'effet de

CHAPITRE I. ;()

rirratliatloii à travers la couche d'air qui sépare les deux surfaces, cependant cette circonstance modifie la question, puisqu'il y a une partie de la chaleur qui pénètre immédia- tement au-delà de l'air interposé. Nous supposerons donc , pour rendre l'objet du calcul plus distinct, que l'intervalle des surfaces est vide d'air , et que le corps échaut'té est couvert d'un nombre quelconque de tranches parallèles et éloignées les unes des autres.

Si la chaleur qui sort du solide par sa superficie plane entretenue à la température h , se répandait librement dans le vide et était reçue par une surfoce parallèle entretenue à une température moindre a , la quantité qui se dissiperait pendant l'unité de temps à travers l'unité de superficie serait proportionnelle à la différence h — a des deux températures constantes; cette quantité serait représentée par H {b — «), H étant une valeur de la conducibilité relative qui n'est pas la même que h.

Le foyer qui maintient le solide dans son premier état doit donc fournir, dans chaque unité de temps, une quan- tité de chaleur égale à H S [h — «). Il faut maintenant dé- terminer la nouvelle valeur de cette dépense dans le cas oii la superficie de ce corps serait recouverte de plusieurs tran- ches successives et séparées par des intervalles vides d'air, en supposant toujours que le solide est soumis à l'action d'une cause extérieure quelconque qui retient sa superficie à la température h.

Concevons que le système de toutes les températures est devenu fixe; soit m la température de la surface inférieure de la première tranche qui est par conséquent opposée à celle du solide, soient n la température de la siu'fiice supé-

8o THÉORIE DE LA CHALEUR,

rieure de cette même tranche, e son épaisseur, et K sa con- ducibilité spécifique , désignons aussi par m, ii', m , n , m'", n'", m", n", etc. les températures des surfaces inférieure et supérieure des différentes tranches, et par K, e, la con- ducibilité et l'épaisseur de ces mêmes tranches, enfin sup- posons que toutes ces surfaces soient dans un état sem- blable à la superficie du solide, en sorte que la valeur du coefficient H leur soit commune.

La quantité de chaleur cjui pénètre la surface inféineure d'une tranche correspondante à l'indice quelconque i est H S (",_, — "^)i celle qui traverse cette tranche est

■ — (/^ — "' + !)•) ^^ ^^ C|uantité qui en sort par la surface su- périeure est H S («V — "i+i)- Ces trois quantités, et toutes celles qui se rapportent aux autres tranches, sont égales; on pourra donc former les équations en comparant toutes les quantités dont il s'agit à la première d'entre elles, qui est H S {b — 7« ) ; on aui'a ainsi, en désignant par y le nom- bre des tranches :

b — in,=^b — m.

m.	— n.	K	{b-	-m	)
"■-	—m.	— b-	-m.
m^	— n.	Ht- K	(b-	-m	.)

He , , .

'"j — «1=1^ (b — m,)

ti, — a=b — ?n.

CHAPITRE I. 8t.

En ajoutant ces équations , on ti'ouvera >

b — a={b—m)j(^i+-~y "'■ ' ■• ;

La dépense de la source de clialeur nécessaire pour entre- tenir la superficie du corps A à la température i^ est

H.S (Z. — «)

lorsque cette superficie envoie ses rayons à une surfiice fixe entretenue à la température b. Cette dépense est H S {h — m) lorsque l'on place entre la superficie du corps A et la sur- face fixe entretenue à la température b un nombre j de tranches isolées; ainsi la quantité de chaleur que le fi^yer doit fournir est beaucoup moindre dans la seconde hypo- thèse que dans la première, et le rapport de ces deux quan-

tités est • / H.gA. Si l'on suppose que l'épaisseur e des

tranches soit infiniment petite, le rapport est-.- La dépense

du foyer est donc en raison inverse du nombre des tran- ches qui couvrent la superficie. . . , , .

84.

L'examen de ces résultats et de ceux que l'on obtient lorsque les intervalles des enceintes successives sont occupés par l'air atmosphérique exjîlique distinctement pomquoi la séparation des surfaces et l'interposition de l'air concou- rent beaucoup à contenir la chaleur. r>-. ,•

Le calcul fournit encore des conséquences analogues lorsqu'on suppose que le foyer est extérieur et que la chaleur qui en émane traverse successivement les divei'ses enveloppes diaphanes et pénètre l'air qu'elles renferment. C'est ce qui

1 1

82 THÉORIE DE LA CHALEUR.

avait lieu dans les expériences où l'on a exposé aux rayons du soleil des thermomètres recouverts par plusieurs caisses de verre, entre lesquelles se trouvaient différentes couches d'air.

C'est par une raison semblable que la température des hautes régions de l'atmosphère est beaucoup moindre qu'à la surface du globe.

En général les théorèmes concernant réchauffement de l'air dans les espaces clos s'étendent à des questions très- variées. Il sera utile d'y recourir lorsqu'on voudra prévoir et régler la température avec quelque précision , comme dans les serres , les étuves , les bergeries , les ateliers , ou dans plusieurs établissements civils , tels que les hôpitaux , les casernes, les lieux d'assemblée.

On pourrait avoir égard, dans ces diverses applications, aux circonstances accessoires qui modifient les conséquences du calcul comme l'inégale épaisseur des différentes parties de l'enceinte, l'introduction de l'air etc. ; mais ces détails nous écarteraient de notre objet principal qui est la dé- monstration exacte des principes généraux.

Au reste, nous n'avons considéré, dans ce qui vient d'être dit, que l'état permanent des températures dans les espaces clos. On exprime aussi , par le calcul , l'état variable qui le précède, ou celui qui commence à avoir lieu lorsqu'on re- tranche le foyer, et l'on peut connaître par-là comment les propriétés spécifiques des corps que l'on emploie, ou leurs dimensions, influent sur les progrès et sur la durée de réchauffement; mais cette recherche exige une analyse diffé- rente, dont on exposera les principes dans les chapitres suivants.

CHAPITRE I. m

SECTION VIL

Du mouvement uniforme de la chaleur suivant les trois

dimensions. '

85. ■

Nous n'avons considéré jusqu'ici que le mouvement uni- forme de la chaleur suivant une seule dimension , il est facile d'appliquer les mêmes principes au cas où la chaleur se propage uniformément dans trois directions orthogonales.

Supposons que les différents points d'un solide compris entre six plans rectangulaires aient actuellement des tem- pératures inégales et représentées par l'équation linéaire v^h. + a X + by + c z, x, y, z, étant les coordonnées rectangulaires d'une molécule dont la température est v. Supposons encore que des causes extérieures quelconques, agissant sur les six faces du prisme, conservent à chacune des molécules qui sont situées à la superficie, sa tempéra- ture actuelle exprimée par l'équation générale

v^=A. + ax + by + cz, (a)

nous allons démontrer que ces mêmes causes qui, par hypo- thèse, retiennent les dernières tranches du solide dans leur état initial, suffisent pour conserver aussi la température actuelle de chacune des molécules intérieures , en sorte que cette température ne cessera point d être représentée par l'équation linéaire. -:i ! .i. ~ ; .i* :

L'examen de cette question est un élément de la théorie générale, il servira à faire connaître les lois du mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur d'un solide d'une forme

1 1.

84 THEORIE DE LA CHALEUR.

quelconque, car chacune des molécules prismatiques dont le corps est composé, est pendant un temps inilniment petit dans un état semblable à celui qu'exprime l'équation linéaire {a). On peut donc, en suivant les principes ordi- naires de l'analyse différentielle, déduire facilement de la notion du mouvement uniforme les équations générales du mouvement varié.

m. Pour prouver que les extrémités du solide conservant leurs températures il ne pourra survenir aucun changement dans l'intérieur de la masse, il suffit de comparer entre elles les quantités de chaleur qui, pendant la durée d'un même instant, traversent deux plans parallèles. Soit b la distance perpendiculaire de ces deux plans que l'on suppose d'abord parallèles au plan horizontal des x et y. Soient m et m' deux molécules infiniment voisines dont l'une est au-dessous du premier plan horizontal et l'auti^e au-dessus; soient oc^y, z, les coordonnées de la première et x', j , z, les coordonnées de la seconde. On désignera pareillement deux molécules M et M' infiniment voisines, séparées par le second plan horizontal et situées, par rapport à ce second plan, de la même manière que m et m' le sont par rapport au premier, c'est-à-dire , que les coordonnées de M sont x , y, z+ b , et celles de M', sont x, y, z + b. Il est manifeste que la dis- tance m m des deux molécules m et m est égale à la distance MM' des deux molécules M et M'; de plus, soit v la tempé- rature de m et a'"celle de m, soient aussi V et V les tempé- ratures de M et M', il est facile de voir que les deux diffé- rences y — v et V — V sont égales ; en effet , en substituant d'abord les coordonnées de tji et ni dans l'équation générale

CHAPITRE I. Sj

■v:=A + aa; -h ùj + cz, on trouve

v — v' = a {x — x') + Z» if— y) + c {z—z'),

et, en substituant ensuite les coordonnées de M et M', on trouve aussi V — Y=a (x — x') + b (j — y') + c (s — z). Or la quantité de chaleur que m envoie à 77^' de'pend de la distance ifi m', qui sépare ces molécules, et elle est propor- tionnelle à la différence -v — v de leurs températures. Cette quantité de chaleur envoyée peut être représentée par

g Çv — v) d t ;

la valeur dvx coefficient q dépend d'une manière quelconque de la distance m m, et de la nature de la substance dont le solide est formé, dt est la durée de l'instant. La quantité de chaleur envoyée de M à M', où l'action de M sur M' a aussi pour expression q (V — V) d t , et le coefficient q est le même que dans la valeur q (v — V) d t, puisque la dis- tance M M est égale à m ni et que les deux actions s'opè- rent dans le même solide; de plus V — V est égal à v — v', donc les deux actions sont égales.

Si l'on choisit deux autres points n et lî extrêmement voisins l'un de l'autre qui s'envoient de la chaleur à travers le premier plan horizontal, on prouvera de même que leur action est égale à celles de deux points homologues N et N' qui se communiquent la chaleur à travers le second plan horizontal. On en conclura donc que la quantité totale de chaleur qui traverse le premier plan est égale à celle qui traverse le second pendant le même instant. On tirera la même conséquence de la comparaison de deux plans paral- lèles au plan des x çX. z, ou de deux autres plans parallèles au plan des y et z. Donc, une partie quelconque du solide

86 THÉORIE DE LA CHALEUR.

comprise entre six plans rectangulaires reçoit, par chacune des faces, autant de chaleur qu'elle en perd par la face op- posée ; donc il n'y a aucune portion du solide qui puisse changer de température.

On voit par là qu'il s'écoule à travers un des plans dont il s'agit une quantité de chaleur qui est la même à tous les instants, et qui est aussi la même pour toutes les autres tranches parallèles.

Pour déterminer la valeur de ce flux constant, nous la comparerons à la quantité de chaleur qui s'écoule uniformé- ment dans un cas plus simple que nous avons déjà traité. Ce cas est celui d'un solide compris entre deux plans infinis et entretenus dans un état constant. Nous avons vu que les températures des différents points de la masse sont alors représentées par l'équation v = A + cz; nous allons dé- montrer que le flux uniforme de chaleur qui se propage en sens vertical dans le solide infini est égal à celui qui s'écoule dans le même sens à travers le prisme compris entre six plans rectangulaires. Cette égalité a lieu nécessairement si le coefficient c de réquatiom; = A + cr , appartenant au pre- mier solide est le même que le coefficient c dans l'équation plus générale 'v = A + aœ + bj- + cz qui représente l'état du prisme. En effet, désignons par H dans ce prisme un plan perpendiculaire aux z, et par m et [j. deux molécules extrêmement voisines l'une de l'autre dont la première /« est au-dessous du plan H, et la seconde est au-dessus de ce plan, soient o) la température de ?}z dont les coordonnées sont as, y, z, et w la température de \j. dont les coordonnées sont a;+a,j+p,;:; + y. Choisissons une troisième molécule

CHAPITRE I. 87

p.', dont les coordonnées soient x — a, j — ^, 2 + y, et dont la tempe'rature soit désignée par ir'. On voit que [^ et ^' sont sur un même plan horizontal, et que la verticale élevée sur le milieu de la droite [x ja', qui joint ces deux points, passe par le point m, ensorte que les distances /?? jjt, et j?i ^' sont égales. L'action de in sur ;;. ou la quantité de chaleur que la première de ces molécules envoie à l'autre à travers le plan H dépend de la diflérence v — w de leurs températures. L'action de m sur [a' dépend de la même manière de la diffé- rence V — w' des températures des molécules, puisque la distance de m à fz. est la même que celle de 7n à [;.'. Ainsi en exprimant par q (v — iv) l'action de //? sur [a pendant l'unité de temps, on aura q (y — n-') pour exprimer l'action de 771 sur jx', q étant un facteur inconnu, mais commun, et qui dépend de la distance ?» a et de la nature du solide. Donc la somme des deux actions exercées pendant l'unité de temps est q ['V — iv + V — iv').

Si l'on substitue, au lieu de œ,yetz, dans l'équation générale vt=K + ajc + ^ J + cz, les coordonnées de w et ensuite celles de ^. et [j.', on trouvera j .

0) — iv = — a oi — b <^ — c^

v iv'= + aa + Z'P C y

La somme des deux actions de 7)i sur ^ et de m sur ^.' est donc — 2. q c Y-

Supposons maintenant que le plan H appartienne au solide infini pour lequel l équation des températures est v^^A + cz, et que l'on désigne aussi, dans ce solide, les molécules t7i, jj. et ^.' dont les coordonnées sont ,v, y, z, pour la première, a; + a,j+p,z + y, pour la seconde , et

88 THEORIE DE LA CHALEUR.

x — a, j- — p, - + y, pour la troisième : on trouvera, comme précédemment, v — w + v — (i'' = — 2 c y. Ainsi la somme des deux actions de jn sur a et de m sur r^.', est la même dans le solide infini que dans le prisme compris entre six plans l'ectangulaires. ;

On trouverait un résultat semblable, si l'on considérait l'action d'un autre point n inférieur au plan H sur deux autres v et v', placées à une même hauteur au-dessus du plan. Donc , la somme de toutes les actions de ce genre , qui s'exer- cent à travers le plan H, c'est-à-dire, la quantité totale de chaleur qui , pendant l'unité de temps , passe au-dessus de cette surface , en vertu de l'action des molécules extrême- ment voisines qu'elle sépare, est toujours la même dans l'un et l'autre solide.

Dans le second de ces corps qui est terminé par deux ])lans infinis et pour lequel l'équation des températures est ^' = A + c z, nous savons que la quantité de chaleur écoulée pendant l'unité de temps à travers une surface égale à l'unité et prise sur une section horizontale quelconque est — c K , c étant le coefficient de z, et K la conducibilité spécifique ; donc, la quantité de chaleur qui, dans le prisme compris entre six plans rectangulaires, traverse pendant l'unité de temps, une surface égale à l'unité et prise sur une section horizontale quelconque, est aussi — c K, lorsque l'équation linéaire qui représente les températures du prisme est 1^ = x\ + a j? + h y + c z.

On prouve de même que la quantité de chaleur qui, pen- dant l'unité de temps , s'écoule uniformément à travers une unité de surface prise sur une section quelconque perpendi-

CHAPITRE I. 89

culaire aux x, est exprimée par — «K, et que la chaleur totale qui traverse, pendant l'unité de temps, l'unité t!c sur- face prise sur une section perpendiculaire aux }•, est exprimée par — ^ K.

Les théorèmes que nous avons démontrés dans cet article et dans les deux pi^écédents , ne supposent point que l'action directe de la chaleur soit bornée dans l'intérieur de la masse à une distance extrêmement petite , ils auraient encore lieu si les rayons de chaleur, envoyés par chaque molécule, pou- vaient pénétrer immédiatement jusqu'à une distance assez considérable, mais il serait nécessaire, dans ce cas, ainsi que nous l'avons remarcjué dans l'article 70 , de supposer que la cause qui entretient les températures des flices du solide , affecte une partie de la masse jusqu'à une profondeur finie.

■ ' f '

SECTION VIII.

MesiC7'e du mouvement de la chaleur en un point donné d'une masse solide.

96.

Il nous reste encore à faire connaître un des principaux éléments de la théorie de la chaleur, il consiste à définir et à mesurer exactement la quantité de chaleur qui s'écoule en chaque point d'une masse solide à travers un plan dont la direction est donnée.

Si la chaleur est inégalement distribuée entre les molécules d'un même corps, les températures de chacjue point varie- ront à chacjue instant. En désignant par t le temps écoulé, et par v la température que reçoit après le temps t une mo-

12

90 THÉORIE DE LA CHALEUR,

lécule infiniment petite m, dont les coordonne'es sont x,y, z; l'ëtat variable du solide sera exprime par une équation sem- blable à la suivante ■v = F {x, y, z, t). Supposons que la fonction F soit donnée, et que par conséquent on puisse déterminer, pour chaque instant, la température d'un point quelconque; concevons que par le point m on mène un plan horizontal parallèle à celui des x et y, et que sur ce plan on trace un cercle infiniment petit (o , dont le centre est en m; il s'agit de connaître quelle est la quantité de chaleur qvii , pendant l'instant d t, passera à travers le cercle w de la partie du solide qui est inférieure au plan dans la partie supé- rieure. Tous les points qui sont extrêmement voisins du point m, et qui sont au-dessous du plan , exercent leur action pendant l'instant infiniment petit d t , sur tous ceux qui sont au-dessus du plan et extrêmement voisins du point m, c'est-à-dire, que chacun de ces points placés d'un même côté du plan, enverra de la chaleur à chacun de ceux qui sont placés de l'autre côté. On considérera comme positive l'action cpii a pour effet de transporter une certaine quan- tité de chaleur au-dessus du plan, et comme négative celle qui fait passer de la chaleur au-dessous du plan. La somme de toutes les actions partielles qui s'exercent à travers le cercle w, c'est-à-dire, la somme de toutes les quantités de clialcur qui , traversant un point quelconque de ce cercle , passent de la partie du solide qui est inférieure au plan dans la partie supérieure, composent le flux dont il faut trouver l'expression.

Il est facile de concevoir c|ue ce flux ne doit pas être le même dans toute l'étendue du solide, et que si en un autfie point m on traçait un cercle horizontal w' égal au précédent,

/'

CHAPITRE I. 91

les deux quantités de chaleur qui s'élèvent au-dessus de ces plans b) et w' pendant le même instant pourraient n'ètic point égales; ces quantités sont comparables entre elles et leurs rapports sont des nombres que ron peut facilement déterminer.

97- Nous connaissons déjà la valeur du flux constant pour le cas du mouvement linéaire et uniforme; ainsi dans un solide compris entre deux plans horizontaux infinis dont l'un est entretenu à la température a, et l'autre à la température b, le flux de chaleur est le même pour chaque partie de la masse; on peut le considérer comme ayant lieu dans le sens vertical seulement. Sa valeur correspondante à l'unité de

surface et à l'unité de temps est K (- — ^ j , e désignant la

distance perpendiculaire des deux plans, et K la conducibi- lité spécifique; les températures des différents points du

solide, sont exprimées par l'équation v = a —

Lorsqu'il s'agit d'un solide compris entre six plans rectan- gulaires parallèles deux à deux, et lorsque les températures des différents points sont exprimées par l'équation linéaire v = A + a œ + by + c z, la propagation a lieu en même temps selon les trois directions des x, des y et des z; la quantité de chaleur qui s'écoule à travers une portion déter- minée d'un plan parallèle à celui des x et f , est la même dans toute l'étendue du prisme; sa valeur correspondante à lunité de surface et à l'unité de temps est — e K , dans le sens des r;^ elle est — 6 K, dans le sens desj% et — a K, dans celui des x.

12.

92 THÉORIE DE LA CHALEUR.

En général la valeur du flux vertical, dans les deux cas que l'on vient de citer , ne dépend que du coefficient de z et de la conducibilité spécifique K; cette valeur est toujours

, , , ,- dv

égale a — K -j--

*-" a z

L'expression de la quantité de chaleur qui, pendant l'in- stant cl t , s'écoule à travers un cercle horizontal infiniment petit, dont la surface est u, et passe ainsi de la partie du solide qui est inférieure au plan du cercle, dans la partie

supérieure, est, pour les deux cas dont il s'agit, — ^-rz '^ ^t.

98.

Il est aisé maintenant de généraliser ce résultat et de reconnaître qu'il a lieu quel que soit le mouvement varié de la chaleur exprimé par l'équation a» = F {x , y, z, t).

En effet, désignons par x',y, z, les coordonnées du point m , et sa température actuelle par v. Soient x + ^ , j' + vi , z + 'i, les coordonnées d'un point \i. infiniment voisin du point m et dont la température est w; ^, n, ^, sont des cpiantités infiniment petites ajoutées aux coordonnées x',f, z; elles déterminent la position des molécules infiniment voi- sines du point m, par rapport à trois axes rectangulaires, dont l'origine est en m , et qui seraient parallèles aux axes des X, des j;, et des z. En différentiant l'équation

et remplaçant les différentielles par ^, -o, C, on aura, pour exprimer la valeur de w, qui équivaut av + dv, l'équa-

!• / • , d v' dv' dv' „ 1 ..pr' •

tion luieaire w:=v -\- -j— l + -3— yi + -p (^ , les coefficients

, d v' dv' dv' \ c ■ 1 1

"v^-j-^ ■^, -^, sont des lonctious de x, j, z, t, dans

CHAPITRE I. 93

lesquelles on a mis pour x, j, z, les valeurs données et con- stantes X, y', z, qui conviennent au point m.

Supposons cjue le même point m appartienne aussi à un solide compris entre six plans rectangulaires, que les tem- pératures actuelles des points de ce prisme, qui a des di- mensions finies, soient exprimées par l'équation linéaire (V = A + o ^ + /> y, + c (^ ; et cjue les molécules placées sur les faces qui terminent le solide soient retenues par une cause extérieure à la température c[ui leur est assignée par l'équation linéaire. ^, -/i , (^, sont les coordonnées rectangu- laires d'une molécule du prisme, dont la température est IV, et qui est rapportée aux trois axes dont l'origine est en m.

Cela posé, si l'on prend pour valeurs des coefficients constants ^ A^a , ù, c , qui entrent dans l'équation du prisme

les quantités v', —j—-, —r-^i ~jz ■< ^^"^^ appartiennent à l'équa- tion différentielle ; l'état du prisme exprimé par l'équation

, d v' dv' d v' •• • I 1 1 '-1

(V = y H — -— Ç 4 — — Yi H r- z, couicidera , le plus ciuil

d X dr dz ^ i

est possible, avec l'état du solide; c'est-à-dire, que toutes les molécules infiniment voisines du point m auront la même température, soit qu'on les considère dans le solide ou dans le prisme. Cette coïncidence du solide et du prisme est en- tièrement analogue à celle des surfaces courbes avec les plans qui les touchent. . '

Il est évident, d'après cela, que la quantité de chaleur qui s'écoule dans le solide à travers le cercle w, pendant l'in- stant dt , est la même que celle qui s'écoule dans le prisme à travers le même cercle; car toutes les molécules dont l'ac- tion concourt à l'un et à l'autre effet, ont la même tempe-

94 THEORIE DE LA CHALEUR,

rature dans les deux solides. Donc, le flux dont il s'agit a pour-expression, dans l'un et l'autre solide, — K -jz f^ d t. Il serait — K -r- oj cl t, si le cercle w , dont le centre est m ,

cl Y

était perpendiculaire à l'axe des j, et — K -r- w r/ f , si ce cercle était perpendiculaire à l'axe des x.

La valeur du flux que l'on vient de déterminer varie dans le solide d'un point à un autre, et elle varie aussi avec le temps. On pourrait concevoir qu'elle a , dans tous les points de l'unité de surface, la même valeur qu'au point m, et qu'elle conserve cette valeur pendant l'unité de temps ; alors

le flux serait exprimé par — }L -j- ., il serait — ^ T~ ^'^^^

le sens des j, et — K. 7~ daxis celui des a;. Nous employons

ordinairement dans le calcul cette valeur du flux ainsi rap- portée à l'unité de temps et à l'unité de surface.

99- Ce théorème sert en général à mesurer la vitesse avec laquelle la chaleur tend à traverser un point donné d'un plan situé d'une manière quelconqvie dans l'intérieur d'un solide dont les températui'cs varient avec le temps. Il faut, par le point donné m , élever une perpendiculaire sur le plan et élever en chaque point de cette perpendiculaire des ordonnées qui représentent les températures actuelles de ses différents points. On formera ainsi une courbe plane dont l'axe des abscisses est la perpendiculaire. La fluxion de l'or- donnée de cette courbe, qui répond au point m, étant prise avec un signe contraire, exprime la vitesse avec laquelle la chaleur se porte au-delà du plan. On sait que cette fluxion

CHAPITRE I. 95

de l'ordonnée est la tangente de l'angle formé par l'élément de la courbe avec la parallèle aux abscisses.

Le résultat que l'on vient d'exposer est celui dont on fait les applications les plus fréquentes dans la théorie de la cha- leur. On ne peut en traiter les différentes questions sans se former une idée très-exacte de la valeur du flux en chaque point d'un corps dont les températures sont variables. Il est nécessaire d'insister sur cette notion fondamentale : l'exemple que nous allons rapporter indicjuera plus clairement l'usage que l'on en foit dans le calcul.

100.

Supposons que les différents points d'une masse cubique dont le côté est ^ - , aient actuellement des températures inégales représentées par l'équation a> = cos. x . cos. j^'. cos. z. Les coordonnées x, y, z, sont mesurées sur trois axes rec- tangulaires dont l'origine est au centre du cube, et qui sont perpendiculaires aux faces. Les points de la surface exté- rieure du solide ont actuellement la température o, et l'on suppose aussi que des causes extérieures conservent à tous ces points leur température actuelle o. D'après cette hypo- thèse , le corps se refroidira de plus en plus , tous les points situés dans l'intérieur de la masse auront des températures variables et , après un temps infini , ils acquerront tous la température o de la surface.

Or, nous démontrerons, par la suite, que l'état variable de ce solide est exprimé par l'équation

'y = e~s' cos. x. cos. r- cos. z, le coefficient g- est égal à ttjc , K est la conducibilité spéci-

96 THÉORIE DE LA CHALEUR.

fique de la substance dont le solide est formé, D est la den- sité, et C la chaleur spécifique; t est le temps écoulé.

Nous supposons ici que l'on admet la vérité de cette équa- tion, et nous allons examiner l'usage que l'on en doit faire pour trouver la quantité de chaleur qui traverse un plan donné parallèle à l'un des plans rectangulaires.

Si, par le point m, dont les coordonnées sont œ , y, z, on mène un plan perpendiculaire aux z, on trouvera, d'après l'article précédent, que la valeur du flux, en ce point et à

travers le plan , est — K -^ , ou K e~«^' cos. oc. cos.y. sin. z.

La quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant dt, un rectangle infiniment petit, situé sur ce plan et qui a pour côtés d X et dj, est

Ke-«'' cos. X. COS. j. sin. z. dx d y dt.

Ainsi la chaleur totale qui, pendant l'instant dt, traverse l'étendue entière du même plan , est

K e ~s' sin. z. d tycos. x. cos. j' d x dy;

la double intégrale étant prise depuis x = — j 77, jusqu'à a; = ^ iT, et depuis J = — j ^ , jusqu'à y = 7 -. On trou- vera donc, pour l'expression de cette chaleur totale,

4 Ke-fi^' sin. z. d t.

Si l'on prend ensuite l'intégrale par rapport à t, depuis ^=0 jusqu'à t=t, on trouvera la quantité de chaleur qui a traversé le même plan depuis que le refroidissement a commencé , jusqu'au moment actuel. Cette intégrale est

- — sin. z (i — e~^'), elle a pour valeur à la surface

CHAPITRE I. 97

en sorte qu'après un temps infini la quantité de chaleur

/ K

perdue, par l'une des faces, est-^- Le même raisonnement

sappliquant à chacune des six faces, on conclut que le solide a perdu par son refroidissement complet une chaleur totale

dont la quantité est ^^^ ou 8 C D , puisque g équivaut à -f^y:- Cette chaleur totale, qui se dissipe pendant la durée du

refroidissement, doit être en effet indépendante de la condu- cibilité propre K, cjui ne peut influer que sur le plus ou moins â& vitesse du refroidissement.

100.

On peut déterminer d'une autre manière la quantité de chaleur que le solide perd pendant un temps donné , ce qui servira, en quelque sorte, à vérifier le calcul précédent. Eu effet la masse de la molécule rectangulaire, dont les dimen- sions sont dx, d y , dz, est jy. d x dy dz, par consé- quent la quantité de chaleur c|u il faut lui donner pour la porter de la température o à celle de l'eau bouillante est C\y. dx dy d z, Gt s il fallait élever la molécule h. la tem- pérature V, cette chaleur excédente serait d Cli d x dy d z.

Il suit de là que pour trouver la quantité dont la chaleur du solide surpasse, après le temps t, celle qu'il contiendrait à la température o, il faut prendre l'intégrale multiple /"(y CD dx .d y .d z)^ entre les limites x = — ^ :-,a; = ^iv,

On trouve ainsi, en mettant pour v sa valeur, savoir :

cs' COS. X cos. y cos. z,

que l'excès de la chaleur actuelle sur celle qui convient à la

i3

98 THÉORIE DE LA CHALEUR.

température o est 8 CD (i — e-^'); ou, après un temps infini, 8 C D, comme on l'a trouvé précédemment.

Nous avons exposé , dans cette introduction , tous les élé- ments qu'il est nécessaire de connaître pour résoudre les diverses questions relatives au mouvement de la chaleur dans les corps solides , et nous avons donné des applications de ces principes, afin de montrer la manière de les employer dans le calcul ; l'usage le plus important que l'on en puisse faire est d'en déduire les équations générales de la propaga- tion de la chaleur, ce qui est l'objet du chapitre suivant.

I

•«•«.«/«.'«. «^«/««.^

CHAPITRE IL

ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR.

SECTION PREMIÈRE.

Equation du mouvement varié de la chaleur dans une

armille.

ICI.

vJn pourrait former les équations ge'ne'rales qui représentent le mouvement de la chaleur clans les corps solides d'une figure quelconqu^e, et les appliquer aux cas particuliers. Mais cette méthode entraîne quelquefois des calculs assez compli- qués que l'on peut facilement éviter. Il y a plusieurs de ces questions qu'il est préférable de traiter d'une manière spé- ciale, en exprimant les conchtions qui leur sont propres; nous allons suivre cette marche et examiner séparément les questions que l'on a énoncées dans la première section de l'introduction ; nous nous bornerons d'abord à former les équations différentielles , et nous en donnerons les intégrales dans les chapitres suivants.

102.

On a déjà considéré le mouvement uniforme de la chaleur dans une barre prismatique d'une petite épaisseur et dont l'extrémité est plongée dans une source constante de chaleur. Ce premier cas ne piésentait aucune difficulté , pai'ce qu'il ne se rapporte qu'à l'état permanent des températures, et

i3.

loo THÉORIE DE LA CHALEUR.

que l'équation qui l'exprime s'intègre facilement. La question suivante exige un examen plus approfondi; elle a povn- objet de déterminer l'état variable d'un anneau solide dont les différents points ont reçu des températures initiales entiè- rement arbitraires.

L'anneau solide ou armille est engendré par la révolution d'une section rectangulaire autour d'un axe perpendiculaire au plan de l'anneau [Foyezfig. 3). / est le périmètre de la section dont S est la surface, le coefficient h mesure la condu- cibilité extérieure, K la conducibilité propre, C la capacité spécifique de chaleur , D la densité. La ligne o x x x" représente la circonférence moyenne de l'armille ou celle qui passe par les centres de figure de toutes les sections ; la dis- tance d'une section à l'oi'igine o, est mesurée par l'aix dont la longueur est x; R est le rayon de la circonférence moyenne.

On suppose qu'à raison des petites dimensions et de la forme de la section on puisse regarder comme égales, les températures des différents points d'une même section.

io3.

Concevons que l'on donne actuellement aux différentes tranches de l'armille, des températures initiales arbitraires, et que ce solide soit ensuite exposé à l'air qui conserve la température o, et qui est déplacé avec une vitesse constante; le système des températures variera continuellement, la cha- leur se propagera dans l'anneau , et elle se dissipera par la surface : on demande quel sera l'état du solide dans un instant donné.

Soit v la température que la section placée à la distance x aura acquise après le temps écoulé î ; v est une certaine

CHAPITRE II. loi

fonction de a? et de t, dans laquelle doivent entrer aussi toutes les températures initiales ; c'est cette fonction qu'il s'agit de

découvrir.

io4. On considérera le mouvement de la chaleur dans une tranche infiniment petite, comprise entre une section placée à la distance x, et une autre section placée à la distance œ+dœ. L'état de cette tranche pendant la durée d'un instant est celui d'un solide infini que terminent deux plans paral- lèles l'etenus à des températures inégales ; ainsi la quantité de chaleur qui s'écoule pendant cet instant dt à travers la pre- mière section, et passe ainsi de la partie du solide qui pré- cède la tranche dans cette tranche elle-même, est mesurée d'après les principes établis dans l'introduction, par le produit de quatre facteurs, savoir, la conducibilité K, faire de la

section S, le rapport — ;7— et la durée de f instant; elle a pour expression — KSt-//^ Pour connaître la quantité de chaleur

qui sort de la même tranche à travers la seconde section, et passe dans la partie contiguë du solide, il faut seulement changer x en x-^dx xXàns fexpression précédente, ou ce qui est la même chose , ajouter à cette expression sa différentielle prise par rapport à x : ainsi la tranche reçoit par une de ses

faces une quantité de chaleur égale à — KS-j-dt et perd

par la face opposée une quantité de chaleur exprimée par

— KS-T^dt — KS-r—dxdt. Elle acquiert donc à raison de

sa position une quantité de chaleur égale à la différence de

11

deux quantités précédentes, qui est K S -y—, dx dt.

102 THÉORIE DE LA CHALEUR.

D'un autre côté cette même tranche dont la surface exté- rieure est Idx et dont la température diffère infiniment peu de v , laisse échapper dans l'air pendant l'instant dt une quantité de chaleur équivalente à hlvdxdt; il suit de là que cette partie infiniment petite du solide conserve en effet une quantité de chaleur représentée par

KS -7-T dxdt — hlvdxdt

et qui fait varier sa température. Il faut examiner quelle est la quantité de ce changement.

io5. Le coefficient C exprime ce qu'il faut de chaleur pour élever l'unité de poids de la substance dont il s'agit depuis la température o jusqu'à la température i ; par conséquent, en multipliant le volume j c? x de la tranche infiniment pe- tite par la densité D, pour connaître son poids, et par la capacité spécifique de chaleur C, on aura CDjc?.r, pour la c[uantité de chaleur qui élèverait le volume de la tranche depuis la tempéi'ature o jusqu'à la température i. Donc l'ac- croissement de la température qui résulte de l'addition d'une

quantité de chaleur égale à K S -j—^ dxdt — h Ivdxdt

se trouvera en divisant cette dernière quantité par CDS^a;.

Donc en désignant selon l'usage par -jj dt l'accroissement

de température qui a lieu pendant l'instant dt, on aura

1, / . dv K d'v hl / 1 \

1 équation _ = _ _ _ -^^^ ^. {h.)

Nous expliquerons par la suite l'usage que l'on doit faire de cette équation pour en déduire une solution complette, et c'est en cela que consiste la difficulté de la question ; nous

CHAPITRE II. io3

nous bornerons ici à une remarque qui concerne l'état per- manent de l'armille.

loG.

Supposons que le plan de l'anneau étant horizontal, on place au-dessous de divers points m np q etc., des foyers de chaleur dont chacun exerce une action constante ; la chaleur se propagera dans le solide, et celle qui se dissipe par la surface étant incessamment remplacée par celle qui émane des foyers , la température de chaque section du solide s'ap- prochera de plus en plus d'une valeur stationnaire qui varie d'une section à l'autre. Pour exprimer, au moyen de l'équa- tion (è), la loi de ces dernières températures qui subsis- teraient d'elles-mêmes si elles étaient établies; il faut supposer que la quantité v ne varie point par rapport à t , ce qui rend

nul le terme -j-. On aura ainsi l'équation dx K t>

M et N étant les deux constantes.

107.

Supposons qu'une portion de la circonférence de l'anneau, placée entre deux foyers consécutifs, soit divisée en parties égales, désignons par v, v^ v^ 1^4, etc. , les températures des points de division dont les distances à l'origine sont X, a?, ^3 0^4, etc., la relation entre v el x sera donnée par l'équation précédente, après que l'on aura déterminé les deux constantes au moyen des deux valeurs de v qui corres-

hi

pondent aux foyers. Désignant par « la quantité e

-y-û

io4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

et par 1 la distance x, — x, de deux points de division con- sécutifs ; on aura les équations :

'y.^Ma'^' + N

a

V

= Ma ' a ■ +Na'

1

d'où l'on tire la relation suivante — = a + « . On

trouverait un résultat semblable pour les trois points dont les températures sont v^ v^ v^, et en général pour trois points consécutifs. Il suit de là que si l'on observait les tempéra- tures 'V, o'^ 'Vj z'4 1^5 , etc. , de plusieurs points successifs, tous placés entre les deux mêmes foyers 7ii et n et séparés par un intervalle constant )i, on reconnaîtrait que trois températures consécutives quelconques sont toujours telles cjue la somme de deux extrêmes, divisée par la moyenne, donne un quotient

constant « + a

io8.

Si, dans l'espace compris entre deux autres foyers n etp, l'on observait les températures de divers autres points séparés par le même intervalle X, on trouverait encore que pour trois points consécutifs quelconques, la somme des deux tempé- ratures extrêmes , divisée par la moyenne, donne le même

quotient a + a~ . La valeur de ce quotient ne dépend ni de la position , ni de l'intensité des foyers.

Soit q cette valeur constante , on aura l'équation

V

, = qv,—v.

CHAPITRE II. io5

on voit par- là que lorsque la circonférence est divise'e en parties e'gales, les températures des points de division, com- pris entre deux foyers consécutifs, sont représentées par les termes d'une série récurrente dont l'échelle de relation est composée de deux termes ^ et — i.

Les expériences ont pleinement confirmé ce résultat. Nous avons exposé un anneau métallique à l'action permanente et simultanée de divers foyers de chaleur, et nous avons observé les températures stationnaires de plusieurs points séparés par un intervalle constant ; nous avons toujours reconnu que les températures de trois points consécutifs quelconques, non séparés par un foyer, avaient entre elles la relation dont il s'agit. Soit que l'on multiphe les foyers, et de quelque ma- nière qu'on les dispose, on ne peut apporter aucun change- ment à la valeur numérique du quotient ~ —; il ne dépend

que des dimensions ou de la nature de l'anneau, et non de la manière dont ce solide est échauffé.

I lo. Lorsqu'on a trouvé, par l'observation, la valeur du quotient

constant a ou — — — , on en conclut la valeur de «\ au moyen de l'équation / + a.~^T=q. L'une des racines est a^, et l'autre racine est a~"^. Cette quantité étant déterminée, on en conclut la valeur du rapport -^ i 1"i ^^t y f log. v} j . Désignant «' par to, on aura w' — q w+ i =o. Ainsi le rapport des deux conducibilités se trouve en multipliant ~ par le

quarré du logarithme de l'une des racines de l'équation w' — ^ w + I = o. ,

i4

loG THEORIE DE LA CHALEUR.

SECTION IL

Équation du niom'emeTit varié de la chaleur dans une

sphère solide.

1 1 1.

Une masse solide homogène, de forme sphérique, ayant ëté plongée pendant un temps infini dans un milieu entre- tenu à la température permanente i , est ensuite exposée à l'air qui conserve la température o, et qui est déplacé avec une vitesse constante : il s'agit de déterminer les états suc- cessifs du corps pendant toute la durée du refroidissement.

On désigne par x la distance d'un point quelconque au centre de la sphère, par v la températm-e de ce môme point, îfprès un temps écoulé t; on suppose, pour l'endre la question plus générale, que la températui'e initiale, commune à tous les points qui sont placés à la distance x du centre, est dif- férente pour les différentes valeurs de x ; c'est ce qui aurait lieu si l'immersion ne durait point un temps infini.

Les points du solide, également distants du centre, ne cesseront point d'avoir une température commune; ainsi v est une fonction de x et de t. Lorsqu'on suppose ^ = 0, il est nécessaire que la valeur de cette fonction convienne à l'état initial qui est donné, et qui est entièrement arbitraire.

112.

On considérera le mouvement instantané de la chaleur dans vnie couche infiniment peu épaisse, terminée par les deux surfaces sphériques dont les rayons sont .r et ^ 4- dx: la quantité de chaleur qui , pendant un instant infiniment petit dt, traverse la moindre surfiice dont le rayon est.r, et

CHAPITRE II. 107

passe ainsi de la partie du solide qui est plus voisine du centre dans la couche splierique , est égale au produit de quatre facteurs qui sont la conducibilité K, la durée dt ,

l'étendue 4"^' de la surface, et le rapport^, pris avec un

signe contraire ; elle est exprimée par — 4 K 77 a' -y^' d t.

Pour connaître la quantité de chaleur qui s'écoule pendant le même instant par la seconde surface de la même couche , et passe de cette couche dans la partie du solide qui l'enve- loppe , il faut changer , dans l'expression précédente , x en

X -\- d X ; c'est-à-dire , ajouter au terme — 4 K. - a;' -5— dtyXa.

différentielle de ce terme prise par rapport à x. On trouve

ainsi — 4 K. ~ ■^V~ ^^ — ^Y^-dix^ -7- jdt pour l'expression

de la quantité de chaleur qui sort de la couche sphérique , en traversant sa seconde surface ; et si l'on retranche cette quan- tité de celle qui entre par la première surface , on aura

l\¥^ -K d (x^ -j- jdt. Cette différence est évidemment la quan- tité de chaleur qui s'accumule dans la couche intermédiaire , et dont l'effet est de faire varier sa température.

ii3.

Le coefficient C désigne ce qu'il faut de chaleur pour élever de la température o à la température i , un poids déterminé qui sert d'unité ; D est le poids de l'unité de volume; ^-x" dx est le volume de la couche intermédiaire , ou n'en diffère que d'une quantité qui doit être omise : donc ^i^CIi x^ dx est la quantité de chaleur nécessaire pour porter la tranche in- termédiaire de la température o à la température i. Il faudra

14.

io8 THÉORIE DE LA CHALEUR.

par conséquent diviser la quantité de chaleur qui s'accumule dans cette couche par /[ iz CD x' d ce, et l'on trouvera l'ac- croissement de sa température v pendant l'instant d t. On

obtiendra aussi l'équation d v :=^ -^-^d t. d (x\ j^ ) ou

x' d X dv Y,. /' d' V 1 dv \ , ,

,i4.

L'équation précédente représente la loi du mouvement de la chaleur dans l'intérieur du solide, mais les températures des points de la surface sont encore assujéties à une condition particulière qu'il est nécessaire d'exprimer.

Cette condition relative à l'état de la surface peut varier selon la nature des questions que l'on traite ; on pourrait supposer, par exemple, qu'après avoir échauffé la sphère, et élevé toutes ses molécules à la température de l'eau bouillante, on opère le refroidissement en donnant à tous les points de la surface la température o , et les retenant à cette température par une cause extérieure quelconque. Dans ce cas on pourrait concevoir cjue la sphère dont on veut déterminer l'état va- riable est couverte d'une enveloppe extrêmement peu épaisse, sur laquelle la cause du refroidissement exerce son action. On siqiposerait, i° que cette enveloppe infiniment mince est adhérente au solide, qu'elle est de la même substance que lui, et qu'elle en fait partie, comme les autres portions de la masse ; a° que toutes les molécules de l'enveloppe sont assujéties à la température o par une cause toujours agissante qui empêche que cette température puisse être jamais au- dessus ou au-dessous de zéro. Pour exprimer cette même condition dans le calcul, on doit assujétir la fonction v, qui

CHAPITRE II. 109

contient x et t, k devenir nulle, lorsqu'on donne à x sa valeur totale X égale an rayon de la sphère, quelle que soit d'ailleurs la valeur de t. On aurait donc dans cette hypothèse, en désignant par ç (x, f) la fonction de x et t , qui doit donner la valeur de 'v, les deux équations

d V K. / fi" i' 1 d V

dt CD V dx" x' d

X

) et9(X, 0- = o

de plus il faut que l'état initial soit repi^ésenté par cette même fonction ©(.r, t)\ on aura donc pour seconde condition (f{x, 0)= I. Ainsi l'état variable d'une sphère solide dans la première hypothèse que nous avons décrite, sera repré- senté par une fonction v, qui doit satisfaire aux trois équa- tions précédentes. La première est générale, et convient à chaque instant à tous les points de la masse; la seconde affecte les seules molécvdes de la surface, et la troisième n'ap- partient qu'à l'état initial.

1 15.

Si le solide se refroidit dans l'air, la seconde équation est différente ; il faut alors concevoir que l'enveloppe extrêmement mince, est retenue par une cause extérieure, dans un état propre à faire sortir à chaque instant de la sphère, une quan- tité de chaleur égale à celle que la présence du milieu peut lui enlever.

Or la quantité de chaleur qui , pendant la durée d un instant infiniment petit d t , s'écoule dans l'intérieur du so- lide, à travers la surface sphérique placée à la distance x ,

est égale à — l\Y^t. x' y- d t ; et cette expression générale est

applicable à toutes les valeurs de x. Ainsi, en y supposant a; = X, on connaîtra la quantité de chaleur qui, dans l'état

iio THÉORIE DE LA CHALEUR.

variable de la sphère, passerait à travers l'enveloppe extrê- mement mince qui la termine ; d'un autre côté , la surface extérieure du solide ayant une température variable, que nous désignerons par V, laisserait échapper dans Tair une quantité de chaleur proportionnelle à cette température, et à l'étendue de la surface, qui est 4 tv X". Cette quantité a pour valeur 4 ^ t^ X' V ^ ?.

Pour exprimer, comme on le suppose, que l'action de l'enveloppe remplace à chaque instant celle qui résulterait de la présence du milieu, il suffit d'égaler la quantité /^h-\'\ dt

à la valeur que reçoit l'expression — /^[ K t: X.\ -r- d t , lors- qu'on donne à .r sa valeur totale X ; et l'on obtient par-là l'équation -7- ^ — îf v , qui doit avoir lieu lorsque dans les

fonctions -j— et v on met, au lieu de jc, sa valeur X, ce que l'on désignera en écrivant K -^ — i- A V=o.

116. Il faut donc que la valeur de ^, prise loi'squea;=X, ait un rapport constant — ^ avec la valeur de v , qui répond au

même point. Ainsi , on supposera que la cause extérieure du refroidissement détermine toujours l'état de l'enveloppe extrê- mement mince , en sorte que la valeur de -j- qui résulte de

cet état, soit proportionnelle à la valeur de v, correspondante à ^ = X, et cjvie le rapport constant de ces deux quantités

soit ■ — ^. Cette condition étant lemplie au moyen d'une

cause toujours présente , qui s'oppose à ce que la valeur

CHAPITRE 11. m

extrême de -r— soit autre que — y ^ ^ l'action de l'enveloppe

tiendra lieu de celle de l'air.

Il n'est point nécessaire de supposer que l'enveloppe exté- rieure soit extrêmement mince , et l'on verra par la suite qu'elle pourrait avoir une épaisseur indéfinie. On considère ici cette épaisseur comme infiniment petite , pour ne fixer l'attention que sur l'état de la superficie du solide.

Il suit de là que les trois éc[uations qui doivent déterminer la fiDnction <p (.«, ^) ou v sont les suivantes,

La première a lieu pour toutes les valeurs possibles de x et de t ; la seconde est satisfaite lorsque a,' = X, quelle que soit la valeur de t, et la troisième est satisfaite lorsque ^ = o, quelle que soit la valeur de x.

On pourrait supposer que dans l'état initial , toutes les couches sphériques n'ont pas une même température; c'est ce qui arrive nécessairement, si l'on ne conçoit pas que l'im- mersion ait duré un temps infini. Dans ce cas, c|ui est plus général que le précédent, on représentera par Fa;,la fonction donnée, qui exprime la température initiale des molécules placées à la distance x du centre de la sphère; on rempla- cera alors la troisième équation par celle-ci, ? (cT, o) = Fa-.

Il ne reste plus qu'une question purement analytique dont on donnera la solution dans l'un des chapitres suivants. Elle consiste à trouver la valeur de n , au moyen de la con- dition générale , et des deux conditions particulières aux- quelles elle est assujétie.

112 THÉORIE DE LA CHALEUR.

SECTION III.

Equations du inou\>einent varié de la chaleur dans un cylindre solide.

ii8.

Un cylindre solide, d'une longueur infinie, et dont le côté est perpendiculaire à la base circulaire, ayant été entièrement plongé dans un liquide dont la températui'e est uniforme, s'est échauffé successivement, en sorte que tous les points également éloignés de Taxe, ont acquis la même température; on l'expose ensuite à un courant 3'air plus froid ; il s'agit de déterminer les températures des différentes couches, après un temps donné.

X désigne le rayon dune surface cylindrique, dont tous les points sont également distants de l'axe ; X est le rayon du cylindre; v est la température que les points du solide, situés à la distance x de l'axe, doivent avoir après qu'il s'est écoulé un temps désigné par t, depuis le commencement du refroi- dissement. Ainsi a» est une fonction de x et de t, et si l'on y fait ?=o, il est nécessaire que la fonction de x, qui en pro- viendra, satisfasse à l'état initial qui est arbitraire.

119.

On considérera le mouvement de la chaleur dans une por- tion infiniment peu épaisse du cylindre, comprise entre la surface dont le rayon est x , et celle dont le rayon est x -\- dx. La quantité de chaleur que cette portion reçoit pendant l'instant dt, de la partie du solide qu'elle enveloppe, c'est- à-dire, la quantité qui traverse pendant ce même temps la surface cylindrique dont le rayon est x , et à laquelle nous

CHAPITRE II. ii3

supposons une longueur égale à l'unité, a pour expression

— iYs.r:x~dt. Pour trouver la quantité de ehaleur, qui,

traversant la seconde sui'face dont le rayon est x -\- ri x , passe de la couche infiniment peu épaisse dans la partie du solide qui l'enveloppe, il faut, dans l'expression précédente, changer x enx + dx, ou, ce qui est la même chose, ajouter

au terme — aKr. x~ dt, la différentielle de ce terme,

dx

prise par rapport à x. Donc la différence de la chaleur reçue à la chaleur perdue , ou la quantité de chaleur qui , s'accu- mulant dans la couche infiniment petite détermine les chan- gements de température, est cette même différentielle, prise

avec un signe contraire, ou Q.¥^-r: d t d ( x -j- j ; d'un autre

côté, le volume de cette couche intermédiaire est 2 j:x d x et 2CD ~ X d X exprime ce qu'il faut de chaleur pour l'élever de la température o à la température i , C étant la chaleur spécifique, et D la densité; donc le quotient

zKizdtdfx—j 2C . Dt: X d X

est l'accroissement que reçoit la température pendant lins* tant d t. On obtient ainsi l'équation:

d v K / d' 7> I d ,

dt C.Dydx'

I d V ^ X dx )'

120.

La quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant (7^, la surface cylindrique dont le rayon est x , étant généra- lement exprimée par 2 K x a; -7— dt , il s'ensuit que l'on

i5

ii4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

trouvera celle qui soi't pendant le même temps de la super- ficie du solide, en faisant, dans la valeur précédente, x = X; d'un autre côté , cette même quantité qui se dissipe dans l'air est, selon le principe de la communication de la chaleur, égale a2T:\kvdt; on doit donc avoir à la surface l'équa-

tion déterminée — K ^— = A a». La nature de ces équations

est expliquée avec plus d'étendue, soit dans les articles qui se rapportent à la sphère, soit dans ceux où l'on donne les équations générales pour un corps d'une figure quelconque. La fonction v, qui représente le mouvement de la chaleur dans un cylindre infini doit donc satisfaire, i° à l'équation

générale _ = _ (^ _ + - ^ J , qm a heu quelles que

soient œ et t; 2° à l'équation déterminée jr ^ "*" ^^^ °' ^"^

a lieu , quelle que soit la variable t, lorsque a; = X ; 3° à l'équation déterminée 'y = F (x). Cette dernière condition doit être remplie pour toutes les valeurs de v, où l'on fait t=o^ quelle que soit la variable x. La fonction arbitraire F^ est supposée connue, et elle correspond à l'état initial.

SECTION IV.

Équations du mouvement uniforme de la chaleur dans un piisnie solide d'une longueur infinie.

I2Ï.

Une barre prismatique est plongée par une de ses extré- mités dans une source constante de chaleur qui maintient cette extrémité à la température A; le reste de cette barre, dont la longueur est infinie , demeure exposé à un courant

CHAPITRE II. ii5

uniforme d'air athmospherique entretenu à la températui^e o; il s'agit de déterminer la plus haute température qu'un point donné de la barre puisse acquérir.

Cette question diffère de celle de l'article ^3, en ce qu'on a égard ici à toutes les dimensions du solide , ce qui est né- cessaire pour que l'on puisse obtenir une solution exacte. En effet, on est porté à supposer que dans une barre d'une très-petite épaisseur, tous les points d'une même tranche acquièrent des températures sensiblement égales ; cependant il peut rester quelque incertitude sur les résultats de cette supposition. Il est donc préférable de résoudre la question rigoureusement , et d'examiner ensuite, par le calcul, jusqu'à quel point, et dans quel cas, on est fondé à regarder comme égales les températui'cs des divers points d'une même section.

122.

La section faite perpendiculairement à la longueur de la barre, est un quarré dont le côté est 2 /, l'axe de la barre est l'axe des x, et l'origine est à l'extrémité A. Les trois cooi'- données rectangulaires d'un point de la barre sont ^x:, y, z, la température fixe du même point est désignée par v.

La question consiste à déterminer les températures que l'on doit donner aux divers points de la barre, pour qu'elles continuent de subsister sans aucun changement, tandis que la surface extrême A , qui communique avec la source de chaleur, demeure assujétie, dans tous ses points, à la température permanente A; ainsi v est une fonction de x, de f et de z.

120.

On considérera le mouvement de la chaleur dans une mo- lécule prismatique, comprise entre six plans perpendiculaires

i5.

îi6 THEORIE DE LA CHALEUR.

aux trois axes des x, des j et des z. Les trois premiers plans passent par le point rn , dont les coordonnées sont œ, y, z et les autres passent par le point 7U , dont les coordonnées sont X -h d X , y + ^ j% z + dz.

Pour connaître la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, pénètre dans la molécule, à travers le premier plan passant par le point ni, et perpendiculaire aux x , il faut considérer que la surface de la molécule qui est située sur ce plan, a pour étendue dzdy, et que le flux qui traverse

cette aire est égal , suivant le théorème de l'art. g8 , à — ^-j~'i

ainsi la molécule reçoit à travers le rectangle d»-dy, pas- sant par le point m , une quantité de chaleur exprimée

par — K dz dy -j—. Pour trouver la quantité de chaleur qui

traverse la face opposée , et sort de la molécule , il faut sub- stituer, dans l'expression précédente, x + dx à x, ou ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa différen- tielle prise par rapport à x seulement ; on en conclut que la molécule perd, par sa seconde face perpendiculaire aux x, une quantité de chaleur équivalente à

— ¥^d z d Y -, K d z d Y d ( -— ];

on doit par conséquent la retrancher de celle qui était entrée par la face opposée; la différence de ces deux quantités est

dv\ -t^